公考 AI 讲解数量关系
考点专题精讲01 / 09
率
数量关系 · 数学运算

概率问题
古典概型 · 至少反面 · 独立重复

有利情况除以总情况，分子分母同口径
至少先想对立面，n 次恰好 k 次套公式

古典概型正难则反独立重复 · 条件概率
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 什么时候用

概率问题：数「有利情况占全部情况的几分之几」

题干出现：概率是多少、可能性有多大、命中率、次品率 关键词：至少、至多、恰好 k 次、已知……再求…… 先问两句：每种结果等可能吗？各步之间相互独立吗？
总破题路线
定模型（古典 / 独立重复 / 条件）→ 数情况或套公式 → 「至少」先想反面

古典概型的核心是分子分母同口径计数（都按有序、或都按无序）；连续发生的独立事件，概率分步相乘。

「已知 B 发生、求 A」是条件概率，样本空间被缩小，分母跟着变。

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考点专题精讲03 / 09
FORMULA · 核心公式

一个定义打底，加乘对立三运算，两个模型收尾

古典概型（每种结果等可能）
P(A) = A 包含的情况数 ÷ 全部等可能情况数
加法 · 乘法 · 对立
互斥分类：P = P₁ + P₂　｜　独立分步：P = P₁ × P₂　｜　对立事件：P(A) = 1 − P(Ā)
独立重复试验 与 条件概率
n 次恰好成功 k 次：C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ　｜　P(A|B) = P(AB) ÷ P(B)

几何概率：落点均匀时，P = 有利长度（面积、体积）÷ 总长度（面积、体积）。

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考点专题精讲04 / 09
MODEL · 三大常考模型

古典概型数情况，至少问题取反面，重复试验套系数

1

古典概型（摸球、抽签、掷骰）

所有结果等可能时，用排列组合分别数出总数与有利数，再相除。

  • 总数、有利数同口径计数
  • 不放回抽取：用 C 数组合
例：8 球取 2，总数 C(8,2)=28。
2

正难则反（至少 / 至多）

正面要分好几类时，改算对立事件，再用 1 去减。

  • 「至少一个」反面是「一个都没有」
  • 独立事件连乘即可得反面概率
例：3 枚硬币至少 1 正 = 1 − (1/2)³ = 7/8。
3

独立重复（每次互不影响）

每次成功概率都是 p，n 次中恰好成功 k 次：先选位置 C(n,k)，再乘概率。

  • 公式：C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ
  • 别漏乘选位置的组合数
例：掷 4 枚硬币恰 2 正 = C(4,2)÷2⁴ = 3/8。

条件概率最快的做法是「缩小样本空间直接数」：已知条件发生后还剩几种等可能结果。

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考点专题精讲05 / 09
PRACTICE · 例题一

古典概型：总数、有利数同一口径，组合数相除

题目（古典概型 · 不放回摸球）
袋中有 5 个红球、3 个白球（除颜色外完全相同），搅匀后不放回地一次取出 2 个球，两球都是红球的概率是多少？
A. 5/14　B. 5/8　C. 15/28　D. 25/64

识别：每种 2 球组合等可能，是古典概型；一次摸 2 个不分先后，用组合 C 数情况。

逐步解析（按 → 揭示）
1总情况：8 个球任取 2 个：C(8,2) = 8×7÷2 = 28。
2有利情况：2 个都来自 5 个红球：C(5,2) = 5×4÷2 = 10。
3套定义：P = 10 ÷ 28 = 5/14。
4P = 5/14，选 A。（分母分子都按无序组合，口径一致。）
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考点专题精讲06 / 09
VARIANT · 例题二变式

变式 A 正难则反，变式 B 条件概率缩小样本空间

变式 A · 对立事件（至少）
变式 A：同时抛掷 3 枚均匀硬币，至少出现 1 枚正面朝上的概率是多少？
A. 1/2　B. 3/4　C. 7/8　D. 1

变式 B：同时掷两枚均匀骰子，已知两枚点数之和为 7，其中恰有一枚点数为 1 的概率是多少？

A 正难则反：「至少 1 正」正面分三类，反面「全反」只有一种；B 是条件概率：「已知和为 7」把样本空间缩小到 6 种组合。

变式 B · 条件概率（缩小空间）
A1对立事件 = 3 枚全部反面：P(全反) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8。
A2P(至少一正) = 1 − 1/8 = 7/8，选 C。
B1和为 7 的等可能组合共 6 种：(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)。
B2其中含点数 1 的有 2 种，P = 2 ÷ 6 = 1/3。
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考点专题精讲07 / 09
MODEL · 模型速查

九张速查卡：问法一出现，公式直接调

古典概型
P = 有利情况 ÷ 总情况，前提是每种结果等可能
分步乘法
连续多个相互独立事件同时发生：概率连乘
分类加法
几种互斥情形都算成功：概率相加，不重不漏
对立事件
「至少 / 至多」正面繁：P = 1 − P(反面)
独立重复
恰好成功 k 次：C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ
条件概率
P(A|B) = P(AB)÷P(B)；实操：缩小样本空间直接数
几何概率
落点均匀：长度比 / 面积比 / 体积比
枚举总数
掷两枚骰子 36 种；n 枚硬币 2ⁿ 种；抽签先后概率相同
频率估计
大量重复试验中频率 ≈ 概率，可用频率反推总数或个数

列式后回头查三句：分子分母口径一致吗？独立才可以连乘吗？「已知」条件改变分母了吗？

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 避坑清单

概率三大易错：口径不一、硬分至少、漏乘组合

避坑 1 · 分子分母口径不一致
总数按有序数（如 8×7=56）、有利数按无序数（C(5,2)=10），相除必错。要么都有序、要么都无序。
避坑 2 · 「至少」硬分类
至少 1 个正面分「1 个、2 个、3 个」三类，容易漏类或重复；先算反面「全反」再用 1 减，又快又稳。
避坑 3 · 独立重复漏乘 C(n,k)
n 次试验恰好 k 次成功，成功位置有 C(n,k) 种，只写 pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ 会少算；同时注意失败概率是 (1−p)。

条件概率别当成无条件：看到「已知……」，分母已被缩小，必须在剩余等可能结果里重数。

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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

概率问题：同口径计数，至少先反面

一个定义古典概型 P = 有利情况 ÷ 总情况，要求每种结果等可能；分子分母同口径（都有序或都无序）。
三把运算互斥分类相加、独立分步相乘、对立事件 1−P；「至少/至多」优先正难则反。
两个模型独立重复 C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ；条件概率 P(A|B)=P(AB)÷P(B)，实操缩小样本空间直接数。
坑 1：分子有序、分母无序（或反过来），计数口径不一致。
坑 2：至少问题硬分类，漏类重类；独立事件没连乘。
坑 3：独立重复漏乘 C(n,k)，条件概率忘改分母。