公考 AI 讲解数量关系
考点专题精讲01 / 09
工
数量关系 · 高频模型

工程问题
赋总量 · 合作 · 轮流

总量赋成完工时间的最小公倍数，效率全是整数
合作效率相加、轮流先算整周期，工程题从此不设分数方程

总量 = 效率 × 时间合作效率相加轮流先整周期
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考点专题精讲02 / 09
SIGNALS · 识别信号

看到「单独做几天、合作、轮流、注水池」就是工程题

工程题几乎从不直接给工作总量——这正是信号：总量未知，正好赋一个最小公倍数，把所有效率变成整数。

「甲单独 X 天完成、乙单独 Y 天完成」 问「两队合作几天完成」 「甲做一天乙做一天」轮流交替 进水管 / 出水管，几管齐开 中途加入、撤离、效率变化
核心公式 · 三量关系
工作总量 = 效率 × 时间   效率 = 总量 ÷ 时间   合作效率 = 各队效率之和

单位要统一：效率按「每天完成几份」计；水池模型里注水为正、放水为负。

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考点专题精讲03 / 09
METHOD · 赋值法四步

总量赋最小公倍数，全程整数运算

第一步 · 赋总量
只给完工时间时，工作总量赋各队时间的最小公倍数：10 天与 15 天 → 总量赋 30
第二步 · 求效率
效率 = 总量 ÷ 各自时间：甲效率 30÷10 = 3，乙效率 30÷15 = 2
第三步 · 合 / 轮
合作：效率直接相加；轮流：先算一个整周期（甲乙各做一天）完成多少，再数周期数
第四步 · 算时间
时间 = 剩余工作量 ÷（合效率 / 净效率）；余量不足一天时，按余量 ÷ 当天效率求零头
水池特例
进水排水同时开：净效率 = 进水管效率之和 − 出水管效率之和，再用总量 ÷ 净效率求时间
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考点专题精讲04 / 09
MODELS · 三大基础模型

合作、轮流、进水排水，各有各的算法

合

合作模型

  • 合效率 = 各人效率之和
  • 合作时间 = 总量 ÷ 合效率
  • 中途加入：分段算工作量
甲效 3、乙效 2，合作完成 30 → 30÷(3+2) = 6 天
轮

轮流 / 交替模型

  • 先定一个周期谁先谁后
  • 整周期工作量 × 周期数
  • 余量轮到谁就除以谁的效率
甲乙各一天为一周期完成 5，总量 30 → 6 个整周期 = 12 天；有余量另加零头
水

进水排水模型

  • 总量 = 一池水（赋时间公倍数）
  • 净效率 = 进水 − 排水
  • 注满时间 = 总量 ÷ 净效率
甲进 6h、乙进 8h、丙排 12h → 净效 4+3−2=5，24÷5 = 4.8 小时

三个模型共用一份赋值：换的只是「效率怎么组合」，总量与效率的求法完全相同。

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考点专题精讲05 / 09
例题一 · 合作模型

甲 10 天、乙 15 天，两人合作几天完工？

题干
一项工程，甲队单独做需 10 天完成，乙队单独做需 15 天完成。若两队合作，一起施工需要多少天完成？

A. 5 天   B. 5.5 天   C. 6 天   D. 8 天

信号：只给各自完工时间、没有总量 → 赋总量为时间的最小公倍数。

分步解析（→ 翻页逐步呈现）
①判断题型：典型合作工程题，用赋值法，赋总量 = 10 和 15 的最小公倍数 30。
②求效率：甲效 = 30÷10 = 3，乙效 = 30÷15 = 2（每天完成的份数）。
③套模型：合作效率 = 3+2 = 5。
④算结果：合作时间 = 30÷5 = 6 天，选 C。切忌用 (10+15)÷2 = 12.5 天去猜。
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考点专题精讲06 / 09
例题二 · 分段工程（易错变式）

甲先单独做 5 天，余下两队合作，还要几天？

题干
一项工程，甲单独做需 15 天，乙单独做需 10 天。甲先单独施工 5 天后，乙加入一起做。完成剩余工程还需要多少天？

A. 3 天   B. 4 天   C. 5 天   D. 6 天

易错点：把甲先做的 5 天也算进合作时间，或忘记从总量里扣掉已完成部分。

分步解析（→ 翻页逐步呈现）
①判断题型：分段工程（先独做、后合作），仍用赋值法，总量赋 15 与 10 的最小公倍数 30。
②求效率：甲效 = 30÷15 = 2，乙效 = 30÷10 = 3。
③算余量：甲先做 5 天完成 2×5 = 10，剩余工作量 = 30−10 = 20。
④算结果：合作效率 = 2+3 = 5，还需 20÷5 = 4 天，选 B。
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考点专题精讲07 / 09
CHEAT SHEET · 工程六模型速查

不管题怎么包装，都落进这六个模型

① 单人完工
时间 = 总量 ÷ 个人效率；多人各给时间先赋最小公倍数
② 多人合作
合效率 = 各人效率相加，时间 = 总量 ÷ 合效率
③ 轮流交替
先算整周期完成量与周期数，余量轮到谁就 ÷ 谁的效率
④ 进水排水
净效率 = 进水管效率和 − 出水管效率和；时间 = 总量 ÷ 净效率
⑤ 先独做后合作
先扣独做段工作量，余量 ÷ 合效率 = 还需时间
⑥ 效率变化 / 撤离
按效率变化点分段，各段工作量相加 = 总量
给效率比
效率比 a∶b 直接设效率为 a、b，反求总量再解题
给时间比
时间比 a∶b 则效率比为 b∶a（效率与时间成反比）
周期 + 零头
总时间 = 整周期天数 + 余量折算的零头，零头可能不足一天
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考点专题精讲08 / 09
PITFALLS · 避坑清单

工程题丢分，往往丢在这三个地方

总量乱赋
赋成 1 后全程分数通分慢、易错；应赋各完工时间的最小公倍数，效率立成整数。
轮流按整天
交替施工的余量不一定恰好做满一天，必须「余量 ÷ 轮到者效率」单独折算零头。
水池符号反
排水管效率要减去而不是相加；净效率若 ≤ 0，水池永远注不满，命题可能问「能否注满」。
坑 1：合作时间拿两人天数做算术平均——合作更快，要用「总量 ÷ 效率和」。
坑 2：效率与时间成正比——二者成反比：时间比 3∶2，效率比才是 2∶3。
坑 3：分段工程忘记扣减已完成工作量，直接拿总量除以合效率。
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考点专题精讲09 / 09
RECAP · 一页速记

工程问题三句话带走

一句赋值
只给时间 → 总量赋时间的最小公倍数，效率 = 总量 ÷ 时间，全程整数。
两种组合
合作效率相加；轮流先算整周期、余量再按当天效率折算。
水池与分段
净效率 = 进水 − 排水；分段题（独做→合作、撤离、效率变化）各段工作量相加 = 总量。
记 1：总量 = 效率 × 时间，三量知二求一，先统一单位。
记 2：时间比与效率比互为反比，看到时间比先翻成效率比。
记 3：答合作时间一定小于任何一个人的单干时间，可据此快速排选项。