公考 AI 讲解数量关系
考点专题精讲01 / 09
形
数量关系 · 数学运算

几何问题
勾股 · 相似 · 立体最值

背熟勾股数与面积体积公式，平面立体一把抓
最短路径先展开，几何最值用对称

平面几何立体几何几何最值
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 什么时候用

几何问题：图形量长度、面积、体积，或问最短、最多、最少

题干出现：边长、周长、面积、表面积、体积 图形：三角形、圆、矩形；正方体、长方体、圆柱、球 问法：至少多少材料、最短路线、能否通过
破题入口
找直角 → 勾股定理　｜　规则图形 → 直接套公式　｜　最短路径 → 展开或对称

公考几何不考复杂证明，只考「认图形 + 套公式 + 勾股补边」：题干给两条边求第三条，十有八九要在图里找出一个直角三角形。

三类题分工：平面几何算边角、立体几何算面积体积、几何最值问「最短最省」——本讲一次讲透。

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考点专题精讲03 / 09
FORMULA · 核心公式

公式三组：平面、立体、相似缩放

平面几何
三角形面积 = ½ah　｜　勾股 a² + b² = c²　｜　圆：C = 2πr，S = πr²
立体几何
长方体 S表 = 2(ab+bc+ac)，V = abc　｜　圆柱 S侧 = 2πrh，V = πr²h　｜　球 S = 4πr²，V = 4/3πr³
相似与等比缩放（长度比 k）
周长比 k　｜　面积比 k²　｜　体积比 k³　｜　直径所对圆周角 = 90°

正方体是长方体的特例（a = b = c）：S表 = 6a²、V = a³；圆柱题若「无盖」只少一个底圆，按题意减面。

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考点专题精讲04 / 09
METHOD · 破题三入口

拿到几何题，按这三步找入口

第一步 · 认图形判断是平面还是立体，定位对应公式；不规则图形先「割补」成规则图形之和或之差。
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第二步 · 找直角墙与地面、直径与圆周、长方体棱与棱天然垂直；背熟勾股数 3-4-5、5-12-13、6-8-10、8-15-17，见两边直接写第三边。
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第三步 · 转化最值立体表面路径 → 展开成平面再连线段；将军饮马 → 作对称点把折线拉直；等周问题 → 越接近圆/正方形面积越大。

核心公理只有一句：两点之间，线段最短。所有「最短路线」题都是想办法把路线折到同一条直线段上。

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考点专题精讲05 / 09
PRACTICE · 例题一

勾股定理：梯子靠墙，斜边与一直角边求另一边

题目（勾股定理）
一架长 13 米的梯子斜靠在竖直墙上，梯子底端距墙脚 5 米。梯子顶端距地面多少米？
A. 10　B. 11　C. 12　D. 13

信号：竖直墙与水平地面天然垂直，梯子是斜边——直角三角形已就位，直接套勾股。

逐步解析（按 → 揭示）
1建模：墙、地面、梯子构成直角三角形，斜边 c = 13，直角边 a = 5。
2套勾股：h² = c² − a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144。
3开方：h = √144 = 12 米，选 C。
4速记：5-12-13 是常用勾股数，见 5 与 13 可直接写 12，不必硬算。
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考点专题精讲06 / 09
VARIANT · 例题二变式

立体表面最短路径：先展开，再用勾股

题目（展开法 · 几何最值）
一只蚂蚁从一个长 4、宽 3、高 5 的长方体纸箱的 A 点（前左下角）沿表面爬到对角的 B 点（后右上角），最短路线长多少？
A. √74　B. √80（4√5）　C. 9　D. √90

信号：沿立体表面走路不能穿墙——把相邻两个面展开成一个平面，两点之间线段最短。

逐步解析（按 → 揭示）
1展开：把「前面 + 右面」摊平，A、B 落在同一平面内。
2找直角边：一条 = 高 5，另一条 = 长 + 宽 = 4 + 3 = 7（枚举展开方式取最短）。
3勾股：d² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74；比较另一种展开 (5+4)²+3² = 90、(5+3)²+4² = 80。
4最小为 74，d = √74，选 A。（展开方式不同，两直角边为「高+一边」与另一边，三种取最小。）
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考点专题精讲07 / 09
MODEL · 模型速查

九个几何结论，考场直接调取

常用勾股数
3-4-5、5-12-13、6-8-10、8-15-17，整数倍仍成立（6-8-10 是 3-4-5 的 2 倍）
圆与直角
直径所对圆周角 = 90°；周长 2πr、面积 πr²
相似缩放
长度比 k → 周长比 k、面积比 k²、体积比 k³
长方体 / 正方体
S表 = 2(ab+bc+ac)，V = abc；正方体 S = 6a²、V = a³
圆柱 / 球
圆柱 V = πr²h、侧面积 2πrh；球 V = 4/3πr³、S = 4πr²
表面最短路径
展开成平面 → 连线段 → 勾股；多种展开取最小
将军饮马
直线同侧两点到线上一点路程和最短：作一点对称点再连线
等周结论
周长固定，越接近圆面积越大；四边形中越接近正方形面积越大
染色挖空计数
正方体表面染色再切小方块：按三面（顶点）、两面（棱）、一面（面心）、零面分层数

速查逻辑：先认「求什么量」定位公式，再用勾股与展开/对称把未知量补成直角三角形的边。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 避坑清单

几何题三大失分点：面数、缩放指数、展开方式

避坑 1 · 表面积漏面多面
无盖水桶少一个上底面、通风管只有侧面积；贴商标纸只算侧面积。列式前先数清楚「算几个面」。
避坑 2 · 缩放比指数用错
长度放大 3 倍，面积是 9 倍（k²）不是 3 倍，体积是 27 倍（k³）。周长才跟长度同比。
避坑 3 · 表面路径只展开一种
长方体两对角点有多种展开法，直角边组合不同，要把几种都算出再取最短，不能只试第一种。

另注意单位：题干给米求平方米、给直径先除以 2 得半径，是高频低级失分点。

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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

几何问题：认图形、套公式、找直角

平面 · 勾股直角三角形 a²+b²=c²；勾股数 3-4-5、5-12-13、6-8-10、8-15-17；圆 C=2πr、S=πr²。
立体 · 公式长方体 V=abc、S表=2(ab+bc+ac)；圆柱 V=πr²h；球 V=4/3πr³；无盖、管状按实际减面。
最值 · 转化表面路径展开后连线段用勾股；将军饮马作对称点；相似看 k、k²、k³；等周越接近圆越大。
坑 1：表面积不数面，无盖容器仍按六个面算。
坑 2：面积体积同比缩放，忘了平方、立方。
坑 3：直径当半径用，展开路径只算一种。