公考 AI 讲解数量关系
考点专题精讲01 / 09
计
数量关系 · 数学运算

计数模型
段数与棵数的加一减一

植树爬楼、方阵过河、空瓶换水、比赛场次
一类生活计数题，公式各差一个 1

植树与爬楼方阵与过河空瓶与场次
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 什么时候用

计数模型：数的不是「点」，是「间隔」与「端点」

沿路栽树、立电线杆、插彩旗：先问两端栽不栽 爬楼、敲钟、锯木头：数的是间隔数 正方形队列、实心方阵：边长 n 决定一切 空瓶换酒、买几赠几：喝完的瓶还能再换 淘汰赛、循环赛、握手次数：每场 / 每次关系数两人
核心心法
点 = 段数 + 端点数修正　|　先定模型，再决定 +1 / 0 / −1

这类题几乎不需要复杂计算，丢分几乎都丢在「那一个 1」上：两端都栽要加 1，封闭成环恰好不加。读题先圈出「两端是否栽、是否封闭、最后一次是否返回」三个关键信息。

通用动作：总长 ÷ 间距 = 段数；再按端点情况修正成棵数（次数、人数）。

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考点专题精讲03 / 09
FORMULA · 核心公式

六组计数公式：段数之上各差一个修正

植树问题（段数 = 路长 ÷ 间距）
两端栽 = 段数+1　|　一端栽 = 段数　|　两端不栽 = 段数−1　|　封闭曲线 = 段数
爬楼梯 · 剪绳对折
上到 n 楼走 (n−1) 层；对折 k 次剪 1 刀 → 2k+1 段
方阵问题（每边 n 人）
总人数 = n²　|　最外层 = 4(n−1)　|　相邻两层相差 8
过河 · 空瓶换水 · 比赛场次
过河最后一批不划回　|　(n−1) 空瓶 = 1 份水　|　淘汰赛 n−1 场、单循环 C(n,2)

记忆主线：开放线段看端点（+1/−1），封闭图形看周界（无修正）；所有「换、赛、渡」都要想到最后一次的特殊性。

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考点专题精讲04 / 09
MODEL · 模型卡片

三类计数场景：端点修正、周界去重、最后一次

1

线性植树 · 爬楼

开放线段上的点，先求段数再按端点修正。

  • 两端栽：段数 +1
  • 一端栽 / 楼间：段数或段数 −1
  • 爬楼、敲钟：间隔 = 次数 −1
例：从 1 楼到 4 楼走 3 层，不是 4 层。
2

封闭曲线 · 方阵

首尾重合，端点不重复计；四角去重。

  • 环形植树：棵数 = 段数
  • 方阵最外层：4(n−1)
  • 总人数 n²，层间差 8
例：每边 10 人方阵最外层 36 人，不是 40 人。
3

换水 · 过河 · 场次

盯住「最后一次」：最后一瓶、最后一船、最后一场。

  • 空瓶折算：n−1 瓶换 1 份
  • 过河：最后一批不返回
  • 淘汰赛 n−1 场；循环赛两两一场
例：10 队淘汰赛共 9 场，每场淘汰一队。

认题口诀：见「树、杆、台阶」想端点；见「圈、方阵、湖周」想去重；见「换、渡、赛」想最后一次。

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考点专题精讲05 / 09
PRACTICE · 例题一

植树双景：一条直路 + 一个圆形湖，各栽多少棵

题目
一条长 1200 米的道路一侧种树，每隔 8 米栽一棵，两端都栽；另有一周长 1200 米的圆形湖，沿湖边同样每隔 8 米栽一棵。道路与湖边共栽树多少棵？
A. 298　B. 300　C. 301　D. 302

同一组数据两种路型：开放线段两端都栽要 +1，封闭曲线首尾重合不加。

逐步解析（按 → 揭示）
1段数 = 1200 ÷ 8 = 150 段。
2直路两端都栽：棵数 = 段数 +1 = 151 棵。
3圆形湖是封闭曲线：棵数 = 段数 = 150 棵。
4合计 151 + 150 = 301 棵，选 C。
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考点专题精讲06 / 09
PRACTICE · 例题二 · 变式

空瓶换水 + 方阵变式：折算与去重两种心眼

题目（空瓶换水）
商店规定：3 个空瓶换 1 瓶汽水（连瓶带走）。小明买了 18 瓶，喝完的空瓶全部拿去兑换，他一共能喝到多少瓶汽水？
A. 24　B. 25　C. 27　D. 30

变式思考：若换成「每边 12 人的实心方阵，最外层有多少人」，则是 4×(12−1)=44 人，四角不重复。

逐步解析（按 → 揭示）
13 空瓶换 1 瓶，喝完又得 1 个空瓶，相当于净耗 2 个空瓶喝 1 份：折算比 = (3−1) 个空瓶换 1 份。
218 瓶喝完 → 18 空瓶 → 换 9 瓶；再得 9 空瓶 → 换 4 瓶（余 1 空瓶）。
3此时共余 5 空瓶 → 换 1 瓶（余 2），喝完共余 3 空瓶 → 再换 1 瓶，最后余 1 空瓶止兑。
4兑换共 9+4+1+1 = 15 瓶，合计 18+15 = 27 瓶，选 C。
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考点专题精讲07 / 09
CHEATSHEET · 模型速查

九张速查卡：看到场景，直接对号入座

两端栽树
棵数 = 路长÷间距 +1
一端栽 / 楼间
段数；两端不栽 = 段数 −1
环形封闭植树
棵数 = 周长÷间距，不加不减
爬楼梯 · 敲钟
间隔数 = 次数 −1；上 n 楼走 n−1 层
剪绳对折
对折 k 次剪 1 刀 → 2ᵏ+1 段
实心方阵
总数 n²，最外层 4(n−1)，层差 8
过河问题
最后一批不划回：⌈(人−船夫)÷(船−船夫)⌉
空瓶换水
n 瓶换 1 ⇒ (n−1) 空瓶换 1 份
比赛场次
淘汰 n−1 场；单循环 C(n,2)；双循环 n(n−1)

淘汰赛另一种理解：每场淘汰 1 队，决出冠军要淘汰其余 n−1 队，故恰赛 n−1 场，与赛制编排无关。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 避坑

计数模型三大丢分点：全在「端点、角、最后一次」

动作一 · 先判路型读题先定「开放还是封闭、两端栽不栽」，再决定 +1 / 0 / −1，切忌见树就除。
动作二 · 画图去重方阵、环形、多人握手都有重复计数，画首尾相接的小图，角上的点只数一次。
动作三 · 模拟最后一次换水、过河、换购类题，最后一瓶（船）不再产生返程 / 兑换，单独拎出来验算。
坑 1 · 逢树就 +1：圆形湖、操场跑道首尾重合，棵数 = 段数；只有开放路段两端栽才 +1。
坑 2 · 方阵最外层 4n：四个角各被两边重复算了一次，正确是 4n−4 = 4(n−1)。
坑 3 · 空瓶按 n 折算：换来的一瓶喝完又出空瓶，净耗 n−1 个空瓶；按 n 折算会少喝。
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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

计数模型：三大类、三条速记、三个坑

植树爬楼类两端栽 = 段数 +1、一端栽 = 段数、两端不栽 = 段数 −1、封闭环形 = 段数；爬楼间隔 = 层数 −1，剪对折折 n 次剪 1 刀成 2ⁿ+1 段。
方阵过河类方阵总人数 n²、最外层 4(n−1)、相邻两层差 8；过河最后一批不用划回：次数 = ⌈(人数−船夫)÷(限乘−船夫)⌉。
空瓶场次类n 空瓶换 1 瓶（含瓶）等价 n−1 个空瓶喝 1 份，共喝 = 买的 + ⌊空瓶÷(n−1)⌋；淘汰 n−1 场、循环 C(n,2)。
坑 1 · 加一减一乱套：先判路型再代公式，封闭曲线与一端栽都是「段数」，两端栽才 +1。
坑 2 · 最外层算 4n：四角被重复计算，必须 4(n−1)；方阵每层比内层多 8 人不是多 4。
坑 3 · 空瓶按 n 换：换来的那瓶喝完又产生 1 个空瓶，折算后是 n−1 个空瓶换 1 份，别多买。