公考 AI 讲解数量关系
考点专题精讲01 / 09
浓
数量关系 · 数学运算

浓度问题
溶质守恒 · 十字交叉 · 反复倒出

浓度等于溶质除以溶液，蒸发稀释盐不动
两种混合十字交叉，反复操作按幂折减

浓度三量十字交叉混合 · 蒸发 · 倒出
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 什么时候用

浓度问题：盯住「溶质」这个不变量，列守恒式

题干出现：浓度、溶质、溶剂、盐水、酒精溶液、稀释、蒸发 操作词：两种溶液混合、倒出若干再加水加满、反复操作 n 次 问法：混合后的浓度、原来有多少克盐、加水多少
总破题路线
找不变量（溶质） → 列守恒式（混合前溶质和 = 混合后溶质） → 两种混合用十字交叉

浓度 = 溶质 ÷ 溶液；蒸发、稀释只动水不动盐，溶质质量守恒是列方程的锚点。

「倒出再加水加满」：溶液总量不变，溶质按倒出比例被带走，逐次折减。

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考点专题精讲03 / 09
FORMULA · 核心公式

一个定义、两条守恒、一个十字交叉比

浓度定义
浓度 c = 溶质 ÷ 溶液　｜　溶质 = 溶液 × c　｜　溶液 = 溶质 + 溶剂（水）
两条守恒
混合：m₁c₁ + m₂c₂ = (m₁+m₂)·c混　｜　蒸发 / 加水：溶质质量不变
十字交叉（两溶液质量比）与反复操作
m₁∶m₂ =（c混 − c₂）∶（c₁ − c混）　｜　倒出比例 a 加满水 n 次：cₙ = c₀·(1−a)ⁿ

十字交叉中 c₁、c₂ 分居混合浓度两侧，质量比 = 浓度差的「交叉反比」。

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考点专题精讲04 / 09
MODEL · 三类常考操作

混合守恒、蒸发稀释溶质不动、反复倒出按比例折减

1

两种溶液混合

混合前后溶质总和不变，列方程或直接十字交叉求质量比。

  • 方程：m₁c₁ + m₂c₂ = (m₁+m₂)c混
  • 只求质量比时用十字交叉最快
例：10% 与 20% 等量混合得 15%。
2

蒸发 / 加水稀释

只改变溶剂（水），溶质质量始终不变；溶液变了，浓度跟着变。

  • 蒸发：溶液减少、浓度升高
  • 加水：溶液增加、浓度降低
例：200g 10% 盐水含盐 20g，蒸发到 100g 仍是 20g 盐。
3

反复倒出加满

每次倒出比例 a 的溶液、再加满水，溶质按 (1−a) 折减，n 次取幂。

  • cₙ = c₀·(1−a)ⁿ
  • 前提：每次都搅匀、加满
例：每次倒出 1/3 加满，2 次后 c = c₀·(2/3)² = 4/9·c₀。

三种操作的共同抓手：先写出当前溶质质量，任何时刻 c = 溶质 ÷ 溶液总量。

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考点专题精讲05 / 09
PRACTICE · 例题一

十字交叉：浓度差交叉反比，直接得质量比

题目（两溶液混合 · 十字交叉）
现有浓度 12% 和 22% 的两种盐水，要配成浓度 20% 的盐水 500 克，需要 12% 的盐水多少克？
A. 50　B. 100　C. 150　D. 200

识别：两种已知浓度溶液混合成目标浓度、求一种的质量——十字交叉求出质量比，再按总量分配。

逐步解析（按 → 揭示）
1十字交叉：12% 与 20% 的差为 8；22% 与 20% 的差为 2。
2质量比 m₁∶m₂ =（c混−c₂）∶（c₁−c混）=（20−22）取绝对值 2 ∶（20−12）= 2∶8 = 1∶4。
312% 盐水占总质量的 1/(1+4) = 1/5：500 × 1/5 = 100 克。
4需要 12% 的盐水 100 克，选 B。（检验：100×12% + 400×22% = 100，100÷500 = 20%。）
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考点专题精讲06 / 09
VARIANT · 例题二变式

变式 A 蒸发溶质不动，变式 B 反复倒出按幂折减

变式 A · 蒸发（溶质守恒）
变式 A：容器中有 200 克浓度为 10% 的盐水，蒸发一段时间后，浓度变为 20%，此时盐水还剩多少克？
A. 80　B. 100　C. 120　D. 160

变式 B：装满 300 克浓度 30% 的酒精溶液，每次倒出 100 克再用水加满搅匀，如此操作 2 次后浓度是多少？

A 蒸发只走水不走盐：盐始终 20 克；B 每次倒出 100/300 = 1/3，溶质乘 (1−1/3) 折减。

变式 B · 反复倒出加满
A1蒸发前溶质（盐）= 200 × 10% = 20 克，蒸发过程盐不变。
A2浓度变 20%：剩余盐水 = 20 ÷ 20% = 100 克，选 B。
B1每次倒出比例 a = 100 ÷ 300 = 1/3，折减系数 1−a = 2/3。
B2c₂ = 30% × (2/3)² = 30% × 4/9 = 40/3 % ≈ 13.3%。
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考点专题精讲07 / 09
MODEL · 模型速查

九张速查卡：浓度万变，守恒不离其宗

浓度定义
c = 溶质 ÷ 溶液；溶质 = 溶液 × c
溶液构成
溶液 = 溶质 + 溶剂；盐水含盐和水两部分
混合守恒
混合前溶质之和 = 混合后溶质：m₁c₁ + m₂c₂ = (m₁+m₂)c混
十字交叉
m₁∶m₂ = |c混−c₂| ∶ |c₁−c混|，浓度差交叉反比
蒸发
水走盐不走：溶质不变、溶液减少，浓度升高
加水稀释
溶质不变、溶液增加，新浓度 = 原溶质 ÷ 新溶液
反复倒出
倒出比例 a、加满 n 次：cₙ = c₀·(1−a)ⁿ
浓度互换
两杯等量液体互换一勺：我中你的 = 你中我的，列溶质守恒
特值速算
只给比例时设溶液为 100 克，百分数直接变克数，好算好验

通用验算：任何操作后回写「溶质 = 溶液 × 浓度」，三量自洽即正确。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 避坑清单

浓度三大易错：溶质溶剂混、交叉比写反、折减漏幂

避坑 1 · 溶质、溶剂、溶液分不清
浓度的分母是「溶质 + 水」的溶液总量，不是水的质量；10% 的盐水 200 克含盐 20 克、含水 180 克，别拿 200×10% 之后又除以水。
避坑 2 · 十字交叉质量比写反
m₁ 对应的差是 |c混 − c₂|（对侧浓度差），不是 |c₁ − c混|；记牢「交叉」二字：12% 的份额配 22% 与 20% 的差。
避坑 3 · 反复倒出按一次折减或底数写错
操作 n 次要乘 n 次 (1−a)，即取幂 (1−a)ⁿ；倒出比例按「倒出量 ÷ 当前溶液总量」算，加满后总量复原。

蒸发、加水题先写「溶质 = ？克」并锁住这个数，再求变化后的溶液与浓度。

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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

浓度问题：一个定义打底，一切操作看溶质

定义与混合c = 溶质÷溶液，溶质 = 溶液×c；混合守恒 m₁c₁+m₂c₂ = (m₁+m₂)c混；只求质量比用十字交叉 m₁∶m₂ = |c混−c₂|∶|c₁−c混|。
蒸发 · 稀释只动水不动盐：溶质质量不变；蒸发后溶液 = 溶质÷新浓度，加水后同理除以更大的溶液量。
反复操作每次倒出比例 a 再加满：cₙ = c₀·(1−a)ⁿ；只给比例时设溶液 100 克，百分数直接当克数。
坑 1：分母用了溶剂（水）而不是溶液总量。
坑 2：十字交叉两边的浓度差配反，质量比颠倒。
坑 3：反复倒出忘取 n 次幂，或比例 a 算错。