公考 AI 讲解数量关系
考点专题精讲01 / 09
排
数量关系 · 数学运算

排列组合
分类分步 · 捆绑插空隔板

先判有序无序，再判分类分步
相邻捆绑、不相邻插空、相同物分组隔板

分类分步排列 A 与组合 C三大特殊模型
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 什么时候用

排列组合：数「完成一件事有多少种方法」

题干出现：多少种排法 / 选法 / 分配方案 关键词：相邻、不相邻、围成一圈、至少选一名 先问一句：交换两人位置，结果算不算同一种？
总破题路线
先判有序无序（A / C）→ 再判分类分步（加 / 乘）→ 特殊条件上模型

位置不同、身份不同（排队、站队、排课表）是排列 A；只选人、不排序（选代表、分组）是组合 C。这一步判错，全盘皆错。

「分类」是办法之间二选一（用加法）；「分步」是一步都不能少（用乘法）。

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考点专题精讲03 / 09
FORMULA · 核心公式

两大原理打底，A 与 C 按「有序否」分开

两大计数原理
分类（互斥任选其一）：N = m₁ + m₂　｜　分步（步步都要做）：N = m₁ × m₂
排列 A（有序）与组合 C（无序）
A(n,m) = n!/(n−m)!　｜　C(n,m) = n!/[m!(n−m)!]　｜　C(n,m) = A(n,m) ÷ m!
三个现成结论
环形排列 (n−1)!　｜　错位重排 D₂=1、D₃=2、D₄=9、D₅=44　｜　平均分组再除以「相同组数的阶乘」

组合性质：C(n,m) = C(n,n−m)，如 C(10,8) = C(10,2) = 45，反面取小算得更快。

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考点专题精讲04 / 09
MODEL · 三大特殊模型

相邻捆绑、不相邻插空、相同物分配隔板

1

捆绑法（必须相邻）

把要求相邻的元素先捆成 1 个整体参与排列，再乘整体内部的排列数。

  • 先捆：相邻元素视作 1 个整体
  • 后乘：整体排列 × 内部排列
例：甲乙必须相邻 → A(4,4) × A(2,2)。
2

插空法（不能相邻）

先排无限制元素，再把被限制元素插进它们之间或两端的空隙。

  • 先排普通元素，数出空隙数
  • 受限元素选空插入，有序用 A
例：女生互不相邻 → 先排男生 A(4,4)，5 个空隙选 3 个插女生。
3

隔板法（相同物分组）

n 个相同物品分给 m 个不同对象、每组至少 1 个：在 n−1 个间隙中插 m−1 块板。

  • 每组至少 1 个：C(n−1, m−1)
  • 允许某组为 0：C(n+m−1, m−1)
例：10 个相同名额分 3 班各至少 1 → C(9,2) = 36。

选用顺序：看到「相邻 / 在一起」→ 捆绑；「不相邻 / 不在一起」→ 插空；「相同的东西分成几份」→ 隔板。

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考点专题精讲05 / 09
PRACTICE · 例题一

捆绑法：「必须相邻」先捆后排，两步相乘

题目（捆绑法 · 相邻）
5 人排成一排合影，其中甲、乙两人必须相邻，共有多少种不同排法？
A. 24　B. 36　C. 48　D. 120

为什么用捆绑：要求甲乙「相邻」，可先把两人封死成一个整体参与排队，整体内部再排——两步缺一不可，用乘法。

逐步解析（按 → 揭示）
1捆绑：把甲乙视为 1 个整体，与其余 3 人共 4 个元素。
2整体排列（有序）：A(4,4) = 4! = 24。
3内部排列：甲乙可互换：A(2,2) = 2。
4分步相乘：24 × 2 = 48 种，选 C。
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考点专题精讲06 / 09
VARIANT · 例题二变式

插空法与隔板法：不相邻先排再插，相同名额用板隔

变式 A · 插空法（不相邻）
变式 A：4 名男生、3 名女生排成一排，要求 3 名女生互不相邻，共有多少种排法？
A. 144　B. 480　C. 1440　D. 5040

变式 B：把 10 个完全相同的培训名额分给 3 个班级，每班至少 1 个，有多少种分法？

A 为什么用插空：女生「互不相邻」，先排男生制造空隙再各占一空；B 为什么用隔板：物品相同、对象不同、每组非空，正是 C(n−1,m−1) 的标准模型。

变式 B · 隔板法（相同物分组）
A1先排 4 名男生：A(4,4) = 24；4 人排开形成 5 个空隙（含两端）。
A2从 5 个空隙选 3 个放女生，女生互不相同且有序：A(5,3) = 5×4×3 = 60。
A3分步相乘：24 × 60 = 1440 种，选 C。
B10 个相同培训名额分给 3 个不同班级、每班至少 1 个：9 个间隙插 2 块板，C(9,2) = 36 种。
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考点专题精讲07 / 09
MODEL · 模型速查

九张速查卡：信号词一出现，方法直接调

分类加法
几类办法任选其一都能完成：类类相加，类间互斥不重不漏
分步乘法
一件事拆成先后几步、缺一不可：步步相乘
排列 A / 组合 C
排队、定职位、排顺序用 A；选代表、挑物品用 C；C = A ÷ m!
捆绑法
「必须相邻 / 在一起」→ 捆成整体再排，乘内部排列
插空法
「不能相邻」→ 先排普通元素，n 人有 n+1 空，再插受限元素
隔板法
相同物分不同组、每组至少 1：C(n−1,m−1)；允许为 0：C(n+m−1,m−1)
环形排列
围成一圈旋转视为同一种：固定 1 人，(n−1)!；项链能翻转再除以 2
平均分组
分出的组无编号且等大：结果再除以相同组数的阶乘
正难则反
「至少 / 至多」分类多：总数 − 反面情况数，如至少 1 女 = C(7,3) − C(4,3)

检查动作：列式后回头问三句——有序还是无序？有没有重复计数（平均分组、环排）？正面繁不繁（正难则反）？

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 避坑清单

排列组合三大易错：模型判错、忘记内部、重复计数

避坑 1 · A 与 C 用反
排队、照相、坐座位有顺序用 A；只选 3 人参赛、不分角色用 C。判据：交换其中两人，结果变了就是排列。
避坑 2 · 捆绑忘乘内部
相邻问题捆完只排整体、漏乘 A(2,2)：甲乙整体内部还能互换，必须再乘一次内部排列。
避坑 3 · 环排与均分多算
环形排列直接 n! 会把旋转重复的排法多算，应 (n−1)!；平均分成无编号的等组，要再除以相同组数阶乘。

「至少 / 至多」先试反面：总数减一个反面，通常比正面分三四类又快又不易重漏。

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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

排列组合：有序无序先判，相邻不相邻上模型

两大原理分类用加法（任选其一）、分步用乘法（缺一不可）；先拆事，再决定加还是乘。
A 与 C有序 A(n,m)=n!/(n−m)!，无序 C(n,m)=A(n,m)÷m!；环形 (n−1)!，错位 D₃=2、D₄=9。
三大模型相邻捆绑（×内部）、不相邻插空（先排 n 人得 n+1 空）、相同物非空分组隔板 C(n−1,m−1)；至少问题正难则反。
坑 1：选人用了 A、排队用了 C，顺序判反。
坑 2：捆绑漏乘内部排列，插空数错空隙。
坑 3：环排不除旋转、平均分组不除阶乘。