公考 AI 讲解数量关系
考点专题精讲01 / 09
均
数量关系 · 数学运算

平均数问题
总量、份数与盈亏互补

平均数只是「总量 ÷ 份数」的换一种说法
加权混合靠十字交叉，多退少补靠盈亏互补

算术 · 加权平均十字交叉盈亏互补
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 什么时候用

平均数题：给「均分、平均水平」，本质都在问总量与份数

出现平均、人均、均分、平均成绩等字眼 两组数据混合：男女生、两种浓度溶液、两类商品 某人加入 / 退出后平均数发生变化 已知各数与平均数，问某人多少分、缺多少补多少 连续自然数成串出现
核心恒等式
平均数 = 总量 ÷ 份数　|　总量 = 平均数 × 份数

平均数题很少硬套除法，命题点在三处：混合后权重不同、前后平均变化反推总量、以平均为基准多退少补。见到「平均」先在草稿上写下总量 = 均 × 份，再读题填数。

十字交叉不是新公式，只是「两组总量相加 = 混合总量」的图形化速算。

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考点专题精讲03 / 09
FORMULA · 核心公式

六式吃透平均数：互求、加权、十字交叉、盈亏

算术平均 · 总和互求
x̄ = 总和 ÷ n　|　总和 = x̄ × n　|　新均 =（原总和 ± 变化量）÷ n
加权平均
x̄ =（x₁w₁ + x₂w₂）÷（w₁ + w₂）　权重大的一组，混合值更靠向它
十字交叉（c₁、c₂ 混合成 c混，份量 m₁、m₂）
m₁∶m₂ =（c混 − c₂）∶（c₁ − c混）　份量比 = 距离反比
盈亏互补 · 连续自然数
高出均值的总差 = 低于均值的总差；连续奇数个自然数均值 = 中间项

十字交叉排序：把大的平均数放上方，交叉相减取正值，得到的两个差分别对应同侧份量。

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考点专题精讲04 / 09
MODEL · 模型卡片

三种考法：互求、混合、多退少补

1

知均求总 · 知总求均

平均数与总和随时互转，关注前后变化。

  • 总和 = 均 × 份
  • 增减一人：总量差 ÷ 份数
  • 去掉最高最低再平均
例：5 人均 84，加入一人后均 85，来人 = 85×6−84×5 = 90 分。
2

加权混合 · 十字交叉

两组平均值与混合均值已知，求人数（质量）之比。

  • 列十字：大在上小在下
  • 交叉相减取正值
  • 差之比 = 份量反比
例：男均 90、女均 80、合均 84 ⇒ 男女比 = 4∶6 = 2∶3。
3

盈亏互补 · 连续数

以平均数为基准，多的总和等于少的总和。

  • 高于均线的盈 = 低于均线的亏
  • 奇数个连续数：均 = 正中项
  • 偶数个：均 = 中间两项均值
例：5 个连续自然数和 60，均 12，五数即 10~14。

选择题策略：混合平均必落在两组均值之间；超出这个区间的选项直接排除。

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考点专题精讲05 / 09
PRACTICE · 例题一

十字交叉：班级男女平均分反推人数比

题目
某班数学测验，男生平均 90 分，女生平均 80 分，全班平均 84 分，全班共 50 人。男、女生各多少人？
A. 男 15 女 35　B. 男 20 女 30　C. 男 25 女 25　D. 男 30 女 20

列十字：混合值 84 必在 80 与 90 之间，交叉相减得到的是「人数」之比。

逐步解析（按 → 揭示）
1列十字：男 90、女 80、混合 84，交叉相减：90−84 = 6，84−80 = 4。
2男∶女 = 4∶6 = 2∶3（距离反比：谁离混合值远，谁人数少）。
3共 5 份对应 50 人，每份 10 人。
4男生 2×10 = 20 人，女生 3×10 = 30 人，选 B。验证：(20×90+30×80)÷50 = 84。
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考点专题精讲06 / 09
PRACTICE · 例题二 · 变式

平均变化反推个人 + 连续自然数取中项

题目（平均变化 + 盈亏）
5 名同学平均分 84 分，复核发现小王的成绩被错登，把他的成绩改正后，5 人平均分升至 87 分。小王正确的成绩比错登成绩多多少分？
A. 9　B. 15　C. 21　D. 25

另：5 个连续自然数之和为 60，最大数是多少？（14）

平均数上升 3 分，是 5 个人总分一起被「抬高」的；连续数直接取中项，不必逐个设元。

逐步解析（按 → 揭示）
1总分变化 = (87−84) × 5 = 15 分；只改了小王一人，故他被少登 15 分，选 B。
2连续自然数：均 = 60 ÷ 5 = 12，奇数个连续数均值即正中项，中间数是 12。
3五数为 10、11、12、13、14，最大数 = 14。
4通法：连续 n（奇）个自然数和 = 中间项 × n，已知和先除 n 再向两侧展开。
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考点专题精讲07 / 09
CHEATSHEET · 模型速查

九张速查卡：平均问题的全部入口

算术平均
x̄ = 总和 ÷ 个数
总和互求
总和 = x̄ × n，知二求一
加权平均
Σ(xᵢwᵢ) ÷ Σwᵢ
十字交叉
份量比 = (c混−c₂)∶(c₁−c混)
平均变化
总量变化 = Δx̄ × n
盈亏互补
盈的总和 = 亏的总和
连续奇个自然数
均值 = 正中项，和 = 中项 × n
连续偶个自然数
均值 = 中间两项的平均
选项排雷
混合均值必介于两组均值之间

凡含「人均」「亩均」「单位成本」的资料分析题，同一套总量—份数互求同样适用。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 避坑

平均数三大丢分点：权重、距离比、中项

动作一 · 先写总恒等式动笔先写「总和 = 均 × 份」，混合题写「总分之和 = 合均 × 总人数」，再代数。
动作二 · 十字标同侧大值在上、小值在下，交叉相减取正，两个差对号到同侧份量，最后核对合均落在区间内。
动作三 · 变化量乘份数平均数变了几，要乘回总份数才是总分变化；只改一人时，这个差就是该人的变化量。
坑 1 · 平均的平均：(90+80)÷2=85 只在人数相等时成立；人数不等必须按总分之和 ÷ 总人数。
坑 2 · 十字交叉比错位：交叉差对应的是「人数 / 质量」份量，不是平均值本身，也不是差的同侧直配。
坑 3 · 连续数误用中项：偶数个连续数没有唯一中间项，均值是中间两项之和除以 2。
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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

平均数：三条速记、三个坑

一公式打底平均数 = 总量 ÷ 份数，三者知二求一；平均数变化量 = 总量变化量 ÷ 份数。
两部分混合十字交叉：权重比 = 混合值与各自平均值的距离反比，m₁∶m₂ =（c混−c₂）∶（c₁−c混）。
盈亏互补高出平均数的总量恰好等于低于平均数的总量；连续奇数个自然数，平均数就是中间项。
坑 1 · 平均的再平均：两组人数不同，总平均不是两个平均数相加除以 2，必须用总分之和 ÷ 总人数。
坑 2 · 十字交叉比反：得到的比是「份量（人数、质量）之比」，不是平均值之比；距离和份量成反比。
坑 3 · 连续数乱找中间：偶数个连续数平均数是中间两项的平均；奇数个才正好等于正中间一项。