公考 AI 讲解数量关系
考点专题精讲01 / 09
杂
数量关系 · 数学运算

其他经典题型
牛吃草、统筹与整数解方程

资源在边消耗边补充、任务在排队等调度、方程缺一个条件
各有固定套路：净消耗、贪心排序、尾数整除

牛吃草模型统筹优化不定方程
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 什么时候用

杂题不杂：认出「净消耗、排队调度、整数解方程」三个老面孔

资源一边消耗一边补充：牛吃草、水池进水又漏水、检票口排队 多人共用一个设施：打水、过桥、烙饼，问最少用时 货物沿公路集中到一站，问运费最省的站点 两种单价、总花费已知，问各买多少（方程少一个） 装卸工跟车走、人员最少配置类资源调度
核心意识
认出模型 → 套固定套路：净消耗 / 贪心排序 / 性质筛解

这些题各自独立，但共同点是不必从头建模，考的是固定解法的熟练调用：牛吃草永远先求「每天新长多少」，统筹永远先排序，不定方程永远先看奇偶尾数。

考场上 60–90 秒认不出模型就先用代入排除兜底，选项是一组具体数字时尤其有效。

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考点专题精讲03 / 09
FORMULA · 核心公式

四组套路：牛吃草、排队调度、货物集中、不定方程

牛吃草（设每头牛每天吃 1 份，草每天长 x 份）
原有草量 =（牛数 − x）× 天数　两组条件：x =（N₁t₁ − N₂t₂）÷（t₁ − t₂）
排队取水 · 短作业优先（耗时 t₁ ≤ t₂ ≤ … ≤ tₙ）
总耗时（等待＋自用）= t₁×n + t₂×(n−1) + … + tₙ×1，越短越靠前
烙饼 · 货物集中
烙饼让锅不空，总锅数 =⌈饼数×面数 ÷ 每锅位数⌉；货物集中逐点比两侧总重，小往大靠
不定方程 ax + by = c（求正整数解）
奇偶定性 → 整除 / 尾数压缩 → 代入排除；鸡兔同笼：兔数 =（总脚 − 2×总头）÷ 2

牛吃草的关键不是草，而是「净消耗速度 = 消耗速度 − 补充速度」；检票口、抽水机问题同一个壳。

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考点专题精讲04 / 09
MODEL · 模型卡片

三类经典杂题：边耗边补、排序调度、整数解方程

1

牛吃草模型

资源有初始存量，又在匀速补充，消耗者数量不同、吃尽天数不同。

  • 设单位消耗为 1 份
  • 两组条件相减求日补充量
  • 再求原存量与第三组天数
同壳题：排队检票、水库放水、抽水机抽井水、资源开采。
2

统筹优化

目标只有一个：总等待 / 总运费最小，靠排序与贪心，不靠方程。

  • 排队：短作业优先
  • 烙饼：锅不空、最后一锅取整
  • 货物集中：小往大靠
同壳题：机器加工排序、码头装卸、油罐集中、车辆调度。
3

不定方程

两个未知数只有一个方程，但答案限定为正整数（件数、人数）。

  • 奇偶：判断未知量奇偶
  • 尾数 / 整除：压缩取值
  • 代入选项：最快收尾
同壳题：鸡兔同笼（假设法）、两种商品采购、大小船租车。

模型可嵌套：统筹题里也常带一个不定方程（如车辆数与费用），拆成两步分别套套路即可。

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考点专题精讲05 / 09
PRACTICE · 例题一

牛吃草：两组牛数与天数，反推日长量与原存量

题目
牧场有一片匀速生长的牧草。可供 24 头牛吃 6 天，或供 20 头牛吃 10 天。问可供 19 头牛吃多少天？
A. 10　B. 12　C. 14　D. 15

设每头牛每天吃 1 份、草每天新长 x 份；两种情况下「原有草量」是同一个存量。

逐步解析（按 → 揭示）
1列存量等式：(24−x)×6 = (20−x)×10。
2展开：144−6x = 200−10x ⇒ 4x = 56 ⇒ 每天新长 x = 14 份。
3原有草量 = (24−14)×6 = 60 份。
419 头牛的净消耗 = 19−14 = 5 份/天，天数 = 60÷5 = 12 天，选 B。
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考点专题精讲06 / 09
PRACTICE · 例题二 · 变式

排队取水贪心排序 + 不定方程尾数法

题目（统筹 + 不定方程）
排队：4 人各拿水桶接水，只有一个水龙头，接水时间分别为 2、4、5、6 分钟。按怎样顺序能使四人「接水＋等待」总时间最少？最少多少分钟？（36）

采购：购买单价 8 元与 5 元的笔记本共花 49 元。8 元的买了多少本？
A. 2　B. 3　C. 4　D. 5

排队题让耗时短的先接；不定方程用尾数先锁 8x 的个位，再代选项。

逐步解析（按 → 揭示）
1排队按 2→4→5→6 排序：总时间 = 2×4 + 4×3 + 5×2 + 6×1 = 36 分钟。
2比较反序（6×4+…=44）与乱序均更大，短作业优先即最优，最少 36 分钟。
3采购设 8 元本 x 本、5 元本 y 本：8x + 5y = 49；5y 尾数为 0 或 5，故 8x 尾数为 9 或 4，偶数只能取 4。
48x 尾数为 4 ⇒ x = 3，y = (49−24)÷5 = 5 为正整数，选 B。
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考点专题精讲07 / 09
CHEATSHEET · 模型速查

九张速查卡：杂题的固定入口

牛吃草存量
原存量 = (N−x)×t，x 为日补充量
牛吃草求 x
x = (N₁t₁−N₂t₂)÷(t₁−t₂)
净消耗
吃光天数 = 原存量 ÷ (牛数 − x)
排队取水
短作业优先：t₁×n+t₂×(n−1)+…
烙饼问题
总锅数 = ⌈饼数×2÷每锅位数⌉
货物集中
相邻比两侧总重，小往大靠
装卸工
k 车驻点：每车跟第 k 大需求，取前 k 大之和
鸡兔同笼
兔 = (总脚−2×总头)÷2（假设法）
不定方程
奇偶 → 尾数 → 代入，限正整数

牛吃草、检票口、抽水机是同一个「净消耗」壳；排队、加工、过桥是同一个「短作业优先」壳——认壳比记题更重要。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 避坑

杂题三大丢分点：净消耗、排序、整数约束

动作一 · 先求补充速度牛吃草一律设单位消耗为 1 份，用两组「牛数×天数」相减求出每天新增量，再回代求原存量，顺序不能反。
动作二 · 统筹先排序排队 / 加工类动笔先把耗时从小到大排好，再让每项乘递减系数；货物集中逐点比较左右两侧总重量。
动作三 · 不定方程先筛后代先判奇偶定未知量奇偶，再用尾数 / 整除把取值压到一两个，最后代入选项；别忘了检验「正整数、谁多谁少」。
坑 1 · 牛吃草漏增长：24 头 6 天吃 144 份不等于 20 头 10 天吃 200 份，差的 56 份正是多 4 天新长的草，日长 14 份。
坑 2 · 排队按直觉：让耗时 6 分钟的人先接，后面三人每人多等 6 分钟；权重是「后面还有几人」，越靠后权重越小。
坑 3 · 不定方程忘约束：8x+5y=49 用尾数锁定后，必须验证 y 是正整数；x=8 时 8x=64 已超总额，要连同大小范围一起排除。
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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

其他经典：三条速记、三个坑

牛吃草抓净消耗设每头牛每天吃 1 份，原有草量 =（牛数 − 每天新长草量）× 天数；两组条件相减先求日长量，再求原存量。
统筹抓排序排队取水 / 烙饼：耗时短的优先，让短任务被少等、长任务被多等；货物集中只比较相邻点流量「小往大靠」。
不定方程三招ax + by = c 的正整数解：奇偶定性、整除 / 尾数压缩、代入排除收尾，选项是具体数字时直接代入更快。
坑 1 · 牛吃草忘记草在长：(24−x) 与 (20−x) 是「净消耗」，直接用 24×6 与 20×10 划等号会漏掉 4 天新长的草。
坑 2 · 统筹按直觉排：让最慢的先接水，每人的等待时间都被他拖长；排队类一律「短作业优先」。
坑 3 · 不定方程硬凑解：先不判奇偶尾数就逐一代入浪费时间；也别忘了题目常有「正整数」「谁比谁多」等隐含限制。