公考 AI 讲解数量关系
考点专题精讲01 / 09
斥
数量关系 · 数学运算

容斥原理
两集合 · 三集合 · 交集最值

重叠部分加重复，按公式减回去
分清「满足两项」与「只满足两项」

两集合容斥三集合两式画图 · 交集最值
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 什么时候用

容斥原理：两类、三类人有重叠，加起来后把重复部分减回去

题干出现：参加 A 又参加 B、既会……又会……、两科都优秀 关键词：至少满足一项、都不满足、只满足两项、三项都满足 问法变体：两个集合的交集「最少 / 至少」有多少
总破题路线
画韦恩图分好区 → 区分「满足 AB」与「只满足 AB」→ 套标准式或分段相加

核心思想：并集计数时，重叠区被加了两遍就要减一遍；三集合里三项交集被加三遍、减三遍，最后要再加回来一次。

「总数 − 都不」= 至少满足一项的人数，是公式左边的常客，先算它。

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考点专题精讲03 / 09
FORMULA · 核心公式

两集合一个式，三集合两个式（看题目给的是哪一种数）

两集合容斥
A + B − A∩B = 总数 − 都不满足
三集合 · 标准式（已知两两交集 AB、AC、BC）
|A∪B∪C| = A + B + C − AB − AC − BC + ABC
三集合 · 分段式（已知「只满足两项」的人数）
|A∪B∪C| = A + B + C − 只满足两项 − 2 × 三项都满足

注意：「AB」包含三项都满足的人；「只满足两项」不含三项都满足的人，两种数据不能混用。

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考点专题精讲04 / 09
METHOD · 破题三入口

公式、画图、最值：看问法选入口

入口一 · 标准公式题目直接给「两科都优、三科都优」这类带包含关系的数：两集合用 A+B−AB；三集合用标准式，最后 +ABC 别丢。
▼
入口二 · 画图分区给的是「只参加 A、只参加两项、三项都参加」这类互斥块：画韦恩图，从最内层三项区开始填，只一层、只两层、外层四块互斥相加 = 总人数。
▼
入口三 · 交集最值问交集「至少多少」：两集合最小交集 = a + b − m；三集合最小 = a + b + c − 2m（m 为总人数），结果为负则取 0。

验证习惯：用各互斥分区相加复核一遍，总数对得上才算完。

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考点专题精讲05 / 09
PRACTICE · 例题一

两集合容斥：先算「至少一项」，再代标准式

题目（两集合 · 求交集）
某班共 45 人，参加数学兴趣小组的有 25 人、参加英语小组的有 20 人，两个小组都不参加的有 8 人。两个小组都参加的有多少人？
A. 6　B. 7　C. 8　D. 10

识别：两个集合有重叠、求交集，且给出「都不」的人数——典型两集合容斥，先把「至少参加一项」算出来。

逐步解析（按 → 揭示）
1至少参加一个小组：45 − 8 = 37 人（= 公式左边的并集）。
2设两个都参加的有 x 人，代入：A + B − AB = 25 + 20 − x = 37。
3解出：x = 45 − 37 = 8。
4两个小组都参加的有 8 人，选 C。
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考点专题精讲06 / 09
VARIANT · 例题二变式

变式 A 三集合标准式，变式 B 交集最值一步出

变式 A · 三集合标准式
变式 A：某单位 100 人中，爱好书法、围棋、摄影的分别有 42、38、45 人；同时爱好书法与围棋的 12 人、书法与摄影 15 人、围棋与摄影 13 人，三样都爱好的 6 人。至少爱好一样的有多少人？
A. 85　B. 89　C. 91　D. 95

变式 B：100 人中爱好书法 60 人、爱好围棋 62 人，两样都爱好的至少有多少人？

A 给的是两两交集（含三项），用标准式；B 问交集最小值，用 a+b−m：让并集撑满 100 人时交集最小。

变式 B · 交集最小值
A1三集合标准式：42 + 38 + 45 − 12 − 15 − 13 + 6。
A2计算：125 − 40 + 6 = 91 人，选 C。
B两集合交集最小 = a + b − m = 60 + 62 − 100 = 22 人。
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考点专题精讲07 / 09
MODEL · 模型速查

九张速查卡：重叠计数，加减分明

两集合公式
A + B − AB = 总数 − 都不，四量知三求一
三集合标准式
A+B+C − AB−AC−BC + ABC，尾项别丢
只两项分段式
A+B+C − 只两项 − 2×三项 = 至少一项
AB 与只 AB
AB = 只 AB + ABC；包含关系差一个三项区
画图分区
从三项区起填，七个互斥块：只一 ×3、只二 ×3、三项 ×1
都不参加
并集 = 总数 − 都不；先求并集再代公式
两集合交集最小
a + b − m，不够减时取 0
三集合交集最小
a + b + c − 2m；同理负值取 0
极值直觉
并集最大 = 总人数；交集被挤到最小，用此列等式

三集合题先标出数据是「含三项的交集」还是「只两项」，选错公式是第一失分点。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 避坑清单

容斥三大易错：忘加三项、混用口径、忽略都不

避坑 1 · 标准式漏加 ABC
三集合里三项交集被加了 3 次又被减了 3 次，正好归零，必须再 +ABC 补回一次，否则少算三样都满足的人。
避坑 2 · 「AB」与「只 AB」混用
两两交集 AB 包含三项都满足的人，「只满足两项」不包含。题目给「只两项」却代标准式，或给 AB 却用分段式，结果必然偏差。
避坑 3 · 忘了「都不」与非负检验
公式左边是「至少满足一项」= 总数 − 都不，不是总人数；交集最值算出负数时取 0，交集不可能为负。

拿不准时画韦恩图：七个互斥分区逐块填数，加总等于总人数，最稳妥。

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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

容斥原理：加够了减、减多了加，分区不重不漏

两集合A + B − AB = 总数 − 都不；先求「至少一项」，四量知三求一。
三集合标准式 A+B+C−AB−AC−BC+ABC；只两项型 A+B+C−只两项−2×ABC；先分清数据口径。
交集最值两集合最小 a+b−m，三集合最小 a+b+c−2m，负值取 0；复杂题画韦恩图分七块互斥相加。
坑 1：标准式忘记 +ABC，三样都满足的人被漏掉。
坑 2：「满足两项」与「只满足两项」不分，公式套错。
坑 3：把总人数当并集，忘记减去「都不」。