公考 AI 讲解数量关系
考点专题精讲01 / 09
程
数量关系 · 高频模型

行程问题
相遇 · 追及 · 流水行船

一张图分清「相向、同向、往返」
相遇用速度和、追及用速度差，平均速度不是算术平均

s = v × t相遇速度和 · 追及速度差v顺 = v船 + v水
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考点专题精讲02 / 09
SIGNALS · 识别信号

看到速度、时间、路程，先判运动方向

行程题的分叉口只有一个：两个物体是相向（面对面）还是同向（一前一后）。相向用速度和，同向用速度差。

「相向而行 / 同时出发相遇」→ 速度和 「同向、追上、早出发几分钟」→ 速度差 「顺水 / 逆水、顺风逆风」→ 船速 ± 水速 环形跑道「第 n 次相遇」→ 数圈数 「往返 / 上下山」求平均速度 火车过桥、过隧道 → 路程含车长
核心公式
路程 s = 速度 v × 时间 t   相遇：s = (v₁+v₂)×t   追及：s = (v₁−v₂)×t

动手前先统一单位（米/分 ↔ 千米/时：×60 或 ÷60），并画一条线段图标出出发点与相遇点。

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考点专题精讲03 / 09
MODELS A · 直线相遇与追及

相向加、同向减，路程含义各不同

遇

相遇问题

  • 两人从两地相向而行
  • 相遇时路程和 = 两地距离
  • 时间 = 距离 ÷ 速度和
相距 30 km，速度 6 与 4 km/h → 30÷(6+4) = 3 小时相遇
追

追及问题

  • 同向而行，后者速度更快
  • 追及路程 = 出发时两人的间距
  • 时间 = 间距 ÷ 速度差
弟先出发 5 分钟拉开 60×5=300 米，速度差 80−60=20 → 15 分钟追上
多

多次 / 环形相遇

  • 环形：每合走一圈相遇一次
  • 两端往返第 n 次迎面：路程和 (2n−1)S
  • 环形同向追及：每多走一圈追上一次
环形周长 400 米，速度和 200 米/分 → 每 2 分钟迎面相遇一次
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考点专题精讲04 / 09
MODELS B · 流水、火车与平均速度

水速一加一减，火车过桥要加车长

流水行船
v顺 = v船 + v水，v逆 = v船 − v水；由此 v船 = (v顺+v逆)÷2，v水 = (v顺−v逆)÷2
火车过桥
完全通过所走的路程 = 桥长 + 车长；整列火车完全在桥上的路程 = 桥长 − 车长
等距离平均速度
往返两段等距离、速度 v₁、v₂：平均速度 = 2v₁v₂ ÷ (v₁+v₂)，不是 (v₁+v₂)÷2
环形路线
反向：每合走一圈相遇一次；同向：每多走一圈追及一次，用圈数除速度和 / 速度差
解题四步
①判方向（相向 / 同向）②选和或差 ③找对「路程」是距离、间距还是圈长 ④统一单位后代 s = vt
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考点专题精讲05 / 09
例题一 · 追及问题

弟弟先走 5 分钟，哥哥几分钟追上？

题干
弟弟以 60 米 / 分的速度步行去学校，出发 5 分钟后，哥哥以 80 米 / 分的速度从家出发沿同一路线追赶。哥哥出发后多少分钟追上弟弟？

A. 10 分钟   B. 12 分钟   C. 15 分钟   D. 20 分钟

信号：同向、后出发者更快、问「追上」→ 追及模型，用速度差。

分步解析（→ 翻页逐步呈现）
①判断题型：同向追及，套用「追及时间 = 路程差 ÷ 速度差」。
②找路程差：弟弟先走 5 分钟，已拉开 60×5 = 300 米。
③求速度差：80−60 = 20 米 / 分，即每分钟缩短 20 米。
④算结果：300÷20 = 15 分钟，选 C。验算：哥走 1200 米 = 弟 20 分钟走 1200 米 ✓
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考点专题精讲06 / 09
例题二 · 流水行船（变式）

顺水 5 小时到，逆水回来要几小时？

题干
一艘船在静水中的速度为 20 千米 / 时，水流速度为 4 千米 / 时。船从甲港顺水航行 5 小时到达乙港，原路逆水返回需要多少小时？

A. 6 小时   B. 6.5 小时   C. 7.5 小时   D. 8 小时

易错点：把往返路程当成顺水速度直接乘总时间；逆水时间必须用同一航程除以逆水速度。

分步解析（→ 翻页逐步呈现）
①判断题型：流水行船，v顺 = v船 + v水，v逆 = v船 − v水。
②求两速：v顺 = 20+4 = 24，v逆 = 20−4 = 16 千米 / 时。
③求航程：甲乙两港距离 = 24×5 = 120 千米（往返路程相同）。
④算结果：逆水时间 = 120÷16 = 7.5 小时，选 C。
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考点专题精讲07 / 09
CHEAT SHEET · 行程七模型速查

所有行程题，都是这七个公式的组合

① 单人行程
s = vt；知二求一，先统一单位再列式
② 相向相遇
路程和 = (v₁+v₂)t = 两地距离
③ 同向追及
路程差 = (v₁−v₂)t = 出发时的间距
④ 环形相遇
反向每合走一圈遇一次；同向每多走一圈追上一次
⑤ 两端往返
第 n 次迎面相遇，两人路程和 = (2n−1)S
⑥ 流水行船
v顺 = v船+v水，v逆 = v船−v水；v水 = (v顺−v逆)/2
⑦ 火车过桥
完全通过路程 = 桥长 + 车长；相向错车路程 = 两车长之和
等距离平均速度
v̄ = 2v₁v₂/(v₁+v₂)；等时间平均才是 (v₁+v₂)/2
多次相遇通法
先算两人路程和 / 路程差是几个全程，再反推时间与位置
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考点专题精讲08 / 09
PITFALLS · 避坑清单

行程题丢分，多半栽在这三处

单位不统一
米/分与千米/时混用最致命：1 米/秒 = 3.6 千米/时，列式前把所有速度、时间换成同一套单位。
和差用反
相向相遇用速度和，同向追及用速度差；谁先走，先走者的路程要计入间距。
路程认错
追及路程是两人出发时的间距，不是全程；火车过桥路程含车长；流水往返路程相同但速度不同。
坑 1：平均速度直接 (v₁+v₂)÷2——只有等时间才成立；等距离往返必须用 2v₁v₂/(v₁+v₂)。
坑 2：环形多次相遇只按一次算——反向每合走一圈相遇一次，先数圈数再求时间。
坑 3：顺水逆水把船速直接当实际航速——实际航速是船速与水速的加或减。
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考点专题精讲09 / 09
RECAP · 一页速记

行程问题三句话带走

先判方向
相向相遇用速度和，同向追及用速度差；一句话决定加还是减。
流水环形
v顺 = v船+v水、v逆 = v船−v水；环形反向数「合走几圈」、同向数「多走几圈」。
特殊路程
火车过桥 = 桥长+车长；两端第 n 次迎面相遇路程和 = (2n−1)S；等距离均速 = 2v₁v₂/(v₁+v₂)。
记 1：s = vt 是根，任何模型最后都回到这三个量。
记 2：画线段图：标出发点、相遇点、先走段，路程关系一眼可见。
记 3：答案检验：追及时间 × 两人各自路程应相等；相遇两人路程和应等于全程。