公考 AI 讲解数量关系
考点专题精讲01 / 09
整
数量关系 · 数学运算

整数特性
不看全量算，靠性质筛答案

整除、奇偶、质合、余数、尾数
题干出现分数比例倍数，优先用整除秒杀

整除判定奇偶质合余数尾数
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 什么时候用

整数特性题：不求出精确值，靠「性质」先把选项筛掉大半

题干出现分数、比例、百分数、倍数，问人数 / 件数等整数量 出现平均分、整除、正好分完、剩余几个等表述 求质数、奇数、偶数、连续整数或它们的和与积 问星期几、周期、余数、尾数（末位数字、乘方个位） 列方程后未知数多、方程少：不定方程求正整数解
核心意识
整数题优先「判性质 → 筛选项 → 代入验证」，而不是设 x 硬算到底

数量关系答案必是整数，整除与奇偶常常直接锁死唯一选项。见到比例先化最简比：a∶b = m∶n（最简）意味着 a 是 m 的倍数、b 是 n 的倍数、a+b 是 m+n 的倍数。

使用顺序建议：整除判定 → 奇偶性 → 质合 / 尾数 → 余数，每过一关排除一批选项。

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考点专题精讲03 / 09
FORMULA · 核心性质

四组性质表：整除判定、奇偶、质合、余数尾数

整除判定
2 / 5 看末位；3 / 9 看各位数字之和；11 看奇位数字和 − 偶位数字和能否被 11 整除；4 / 25 看末两位
奇偶性
加减：同偶异奇（奇±奇=偶，偶±偶=偶，奇±偶=奇）；乘法：有偶则偶，全奇才奇
质合 · 公约数公倍数
2 是唯一偶质数，1 既非质也非合；最大公约数 / 最小公倍数用短除法；两数之积 = 最大公约数 × 最小公倍数
余数 · 尾数
和差积的余数：先各自取余再运算；乘方尾数只看底数末位的循环周期（如 7ⁿ 尾 7、9、3、1）

余数公式：被除数 = 除数 × 商 + 余数，且 0 ≤ 余数 < 除数——「剩余问题」的边界全靠这一句。

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考点专题精讲04 / 09
MODEL · 模型卡片

三类秒杀入口：整除倍数、奇偶质合、余数尾数

1

整除 · 倍数特性

分数比例百分数先化最简整数比，总量必是份数和的倍数。

  • a∶b = m∶n → (a+b) 是 m+n 倍数
  • 3 / 9：数字和判定
  • 平均分组：总量整除份数
例：男∶女 = 3∶4，总人数必是 7 的倍数，选项中只留 35、42……
2

奇偶 · 质合

和与积的奇偶性往往直接决定未知数奇偶，免去解方程。

  • 和为奇 → 一奇一偶
  • 积为奇 → 因数全奇
  • 偶质数只有 2
例：两质数之和为奇数，则其中一个必是 2（唯一偶质数）。
3

余数 · 尾数

周期问星期、乘方问个位、剩余问物数，都只算尾巴。

  • 余数：先取余再和差积
  • 同余：公倍数 ×k + 同余数
  • 尾数：底数末位找循环
例：3²⁰²⁶ 的尾数：3、9、7、1 循环，2026÷4 余 2，尾数为 9。

三招可叠加：先用整除排选项，再用奇偶定范围，最后代入选定的一两个数验证。

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考点专题精讲05 / 09
PRACTICE · 例题一

比例倍数双整除：不列方程，两刀筛出唯一选项

题目
某车间原有职工中，男、女职工人数之比为 3∶5。后来新调入 6 名女职工，此时男女职工人数之比变为 1∶2。该车间原有职工多少人？
A. 32　B. 40　C. 48　D. 56

前后两个比都已最简：原总人数是 8 的倍数，调入 6 人后总人数是 3 的倍数。

逐步解析（按 → 揭示）
1原比 3∶5 ⇒ 原总人数是 3+5 = 8 的倍数，四项都满足，进入第二刀。
2新比 1∶2 ⇒ 调入后总人数是 1+2 = 3 的倍数。
3逐项 +6 判整除：38、46、54、62，只有 54 能被 3 整除 ⇒ 原 48 人，选 C。
4验证：男 = 48×3/8 = 18，女原 30；调入后 18∶36 = 1∶2，成立。
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考点专题精讲06 / 09
PRACTICE · 例题二 · 变式

奇偶 + 尾数解不定方程，乘方尾数找周期

题目（不定方程 + 乘方尾数）
文具店 A 种笔每支 5 元、B 种笔每支 8 元，小明买两种笔共花 68 元，且 A 种笔买得比 B 种多。他买了 A、B 两种笔各几支？
A. 4 支和 6 支　B. 8 支和 4 支　C. 12 支和 1 支　D. 10 支和 3 支

另：32026 的个位数字是多少？（9）

一个方程两个未知数：奇偶定方向、尾数缩范围、大小关系收尾；乘方尾数只看末位循环。

逐步解析（按 → 揭示）
1设 A 买 x 支、B 买 y 支：5x + 8y = 68。8y 与 68 均为偶 ⇒ 5x 为偶 ⇒ x 为偶数。
2尾数法：5x 尾数为 0，故 8y 尾数为 8；y 取 1、6（8×1=8，8×6=48），对应 x = 12 或 4。
3要求 x > y，只留 (x, y) = (12, 1)，选 C；验算 5×12 + 8×1 = 68。
43ⁿ 尾数按 3、9、7、1 循环，周期 4；2026÷4 余 2，对应第二位，尾数 = 9。
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考点专题精讲07 / 09
CHEATSHEET · 模型速查

九张速查卡：整数特性的全部入口

2 / 5 整除
只看末一位能否被 2 或 5 整除
3 / 9 整除
各位数字之和能被 3 / 9 整除
11 整除
奇位和 − 偶位和是 11 的倍数
比例倍数
a∶b = m∶n ⇒ (a+b) 是 m+n 的倍数
奇偶加减
同偶异奇：奇±奇=偶，奇±偶=奇
奇偶乘法
有偶则偶，因数全奇数积才奇
质数要点
2 是唯一偶质数，1 非质非合
余数运算
和差积的余数 = 先取余再运算
乘方尾数
只看底数末位，按周期循环取余定位

公约数 / 公倍数：短除法分解质因数，取公共部分连乘得最大公约数，取全部最高次幂连乘得最小公倍数。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 避坑

整数特性三大丢分点：化比、质数、余数

动作一 · 见比例先化最简分数、百分数一律化成 m∶n，总量套 m+n 的倍数，差套 |m−n| 的倍数，先排选项再计算。
动作二 · 不定方程三步走先用奇偶判断未知量奇偶，再用整除 / 尾数压缩取值，最后代入大小、共几组等约束条件锁定。
动作三 · 周期问题除余定位星期加 7、乘方尾数找循环长度，用指数除以周期取余，余几就对应循环中第几个。
坑 1 · 比例未化最简：男∶女 = 6∶8 时总量不是 14 的倍数结论用不稳，必须先约成 3∶4，再按 7 的倍数判定。
坑 2 · 质数概念错：1 既不是质数也不是合数；2 是质数中唯一的偶数，「两质数和为奇数」必有一个是 2。
坑 3 · 余数两类混：和差积求余才「先取余再运算」；剩余问题（除以几个数同余）要用最小公倍数 ×k + 同余数。
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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

整数特性：三招速筛，整除优先

整除判定2/5 看末位；3/9 看数字和；11 看奇位和减偶位和能否被 11 整除；份数题先化最简比再判倍数。
奇偶质合加减「同偶异奇」、乘法「有偶则偶」；2 是唯一偶质数，1 既非质也非合；公约数公倍数先做短除分解。
余数与尾数和差积的余数分别取余再运算；不定方程用奇偶、整除、尾数三招缩小范围，配合代入排除收尾。
坑 1 · 比例直接设整数：男∶女 = 3∶4 表示总人数是 7 的倍数，看到比例先判整除，别急着设 x 硬列方程。
坑 2 · 把 1 或 2 当普通质数：1 不是质数；2 是质数里唯一的偶数，奇偶讨论时常是题眼。
坑 3 · 余数先加后除：和的余数才先各自取余；求被除数（剩余问题）用「最小公倍数 ×k + 同余」，别混淆两类。