公考 AI 讲解数量关系
考点专题精讲01 / 09
最
数量关系 · 数学运算

最值问题
最倒霉的那个人，再加一

「至少……保证」走最不利构造，和定最值走均分构造
极端思想：要保证就想到最坏，要最值就让别人贴着边界

最不利 +1和定均分数列构造
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 识别信号

最值题的题眼：「保证」想到最坏，「最多最少」贴着边界构造

「至少……才能保证……」 「最多 / 最少的人至少 / 至多」 总量固定，分给若干对象求极端值 「成绩各不相同」「每人均分」 抽牌、取球、选人等抽屉情境
两大模型
保证数 = 最不利情况 + 1　｜　和定最值 = 均分 + 余数调整

最值题不考复杂计算，考极端思想：要「保证」就替最倒霉的人多想一步；总和固定时，让无关对象紧贴边界，目标项的最值自然浮出。

读题先圈两组词：「保证 / 一定」→ 最不利构造；「最多的最少 / 最少的最多」→ 和定最值均分。

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考点专题精讲03 / 09
MODEL · 三大核心模型

最值三板斧：抽屉原理、反向构造、均分构造

1

最不利构造（抽屉）

「至少取几个保证 m 个同类」：先把最坏情况取满。

  • 每类先取 m−1 个，全不满足
  • 再取 1 个必然成功
公式：(m−1)×类数 +1；有「王」等额外干扰物要先全加。
2

和定 · 求某项最大

总和固定，让目标尽可能大，其余各项取到最小。

  • 可相同：其余全取同一最小值
  • 互异：其余取最小的连续整数
口诀：求最大，别人最小；求最小，别人最大。
3

均分构造（数列）

互不相同且总和固定，求「最高的至少多少」。

  • 先按平均数摆连续整数
  • 余数从大到小逐个 +1
注意：+1 后仍须保持严格递减、不得并列。

审题关键一问：各项「可以相同」还是「互不相同」？一字之差，构造方式完全不同。

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考点专题精讲04 / 09
METHOD · 解题四步

最值四步：定型 → 立界 → 构造 → 加一

第一步 · 定型看到「保证」走最不利；看到「和固定、求某主体最值」走和定构造。
▼
第二步 · 立界标出每一项的边界：最小可取几、最大可取几；审清能否相同、是否为正整数。
▼
第三步 · 构造最不利：每类取到临界仍不满足；和定：无关项贴边界，互异则摆连续整数并分配余数。
▼
第四步 · 收尾最不利情形的总数「+1」才是保证数；和定题回代求和核对，答案即目标项。

验算口诀：把答案往回收 1，看是否还能「保证」——若能，说明最坏情况没找全，继续补。

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考点专题精讲05 / 09
EXAMPLE 1 · 最不利构造

例题一：抽扑克牌——先替最倒霉的人把牌抽满

例题 · 抽屉原理
一副完整的扑克牌共 54 张（含大小王各 1 张，其余为四种花色各 13 张）。闭眼抽牌，至少抽出多少张，才能保证其中有 4 张牌花色相同？
A. 13　B. 14　C. 15　D. 17

信号：「至少……保证」——不能按运气最好算，要按运气最坏（差一张仍不满足）算。

逐步解析（按 → 揭示）
1最坏情况：每种花色恰好都只抽到 3 张，此时 4×3 = 12 张，仍无 4 张同花色。
2大小王不属于任何花色，最倒霉时还会先抽到它们：再 +2，共 14 张仍不满足。
3此时未抽的牌只剩四种花色，再抽 1 张必属某一花色，该花色凑满 4 张。
4保证数 = 3×4 + 2 + 1 = 15 张，选 C。（忘加大小王会误选 B）
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考点专题精讲06 / 09
EXAMPLE 2 · 和定最值变式

变式：六人总分固定且互异，最高分至少是多少？

例题 · 均分构造
6 名同学参加考试，成绩之和为 540 分，各人成绩均为整数且互不相同。成绩最高的同学至少得多少分？
A. 91　B. 92　C. 93　D. 94

信号：和固定、互异、求最大项的最小值——让六项尽量贴近平均数排成连续整数。

逐步解析（按 → 揭示）
1平均数 = 540 ÷ 6 = 90。要让最高分最小，六人成绩应尽量挤在 90 附近、彼此差 1。
2以 90 为中心取六个连续整数：93、92、91、90、89、88，和为 543，比 540 多 3 分。
3把多出的 3 分从小的一端扣掉且保持互异：90、89、88 各减 1，得到 93、92、91、89、88、87，和恰为 540。
4反证：若最高 ≤92，六互异整数和至多 92+91+90+89+88+87 = 537 < 540，不可能。故最高至少 93 分，选 C。
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考点专题精讲07 / 09
CHEATSHEET · 模型速查

九句速查：题型对号入座，构造直接套

至少……保证
最不利构造：最坏情况数 +1。
保证 m 个同类
每类取 m−1 个，乘类数，再加 1。
含特殊干扰物
大小王、坏件等先全部取出计入最坏情况。
和定 · 求最大
其余各项取最小（可同取 1，互异取 1,2,3…）。
和定 · 求最小
其余各项取最大（可同取上界，互异贴着目标排）。
互不相同
取连续整数，相邻差 1，构造后严格递减。
均分有余数
余数从高到低逐个 +1，不得并列、不得倒挂。
求「最高的最少」
平均后向上取整思路，并用反证（少 1 不够分）锁定。
验算
答案回代求和；再把答案 −1 反证一次确认边界。

抽屉原理：n+1 个物品放进 n 个抽屉，至少一个抽屉有 2 件——这是「保证 +1」的根。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALLS · 六大易错点

最值题避坑清单：差一、漏一、看错题名

坑 1 · 不加 1：算出最不利数就停笔。那只是「还不满足」的最坏值，保证成功必须再 +1。
坑 2 · 漏掉特殊牌：扑克有 2 张王、取球有不参与分类的球，最坏情况要把它们全部先取出。
坑 3 · 类数取错：花色是 4 类、每类 13 张；「4 张同花色」是每类取 3 张，别按 13 算。
坑 4 · 互异看成可同：「各不相同」必须连续整数差 1；当成可相同会把最值算小。
坑 5 · 余数堆给一人：均分余数逐个 +1 且保持互异；全加给最高项会破坏最优构造。
坑 6 · 反向不回验：求出边界后要用「答案 −1 是否可行」反证，否则容易在平均分取整上错 1。
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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

最值问题：两个模型，一种极端思想

速记 1 · 最不利「至少抽几个才能保证」= 最坏情况下抽到的最大数 +1；抽屉问题：保证 m 个同类，每类先取 m−1 个，再加 1。
速记 2 · 和定最值总和固定：让某主体最大，其余取最小；让某主体最小，其余取最大。审清「各不相同 / 可以相同」。
速记 3 · 均分构造互不相同的整数先取连续整数均分，再把余数从高到低逐个 +1，得到「最高的最小值」。
避坑 1 · 忘加 1：最不利算出的是「最坏但仍不满足」的数，题目要「保证满足」必须再 +1。
避坑 2 · 各相同：「互不相同」用连续整数、相邻差 1；「可以相同」其余全部取同一个最值。
避坑 3 · 余数乱分：均分余数只能从大到小逐个 +1（且不能撞平），不能全堆给一个人造成倒挂。