公考 AI 讲解数字推理
考点专题精讲01 / 09
综
数字推理 · 递推综合与其他数列

递推综合与根式小数
先差后商，再圈三数

根式 a±√b、小数、因式分解、阶乘 / 质数修正
主流规律试不出时，按 30-60 秒试错路线逐类排查，不漏特殊长相

先差后商再圈三数特殊长相特殊拆
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 识别信号

主流规律试不动：这些「特殊长相」提示另有通道

含根号 √：根号内 / 根号外分别成规律 含小数：整数部分、小数部分分两列读 数字合数偏多且可整齐拆成两数之积：因式分解 数字贴近 n!、n²、n³、质数：基底 + 小修正 差、商、圈三数全部失败：启动特殊数列排查
特殊四式
a±√b（两列）　｜　整数 . 小数（两列）　｜　aₙ = f(n) × g(n)　｜　aₙ = n! / n² / n³ ± m

这类题的共同动作是「拆」：不把一个数当整体看，而是拆成两部分、两因数、基底加修正，拆完后让每一部分各自成等差、等比或连续数列。

考频不高但区分度大：根式、小数几乎每年轮流出一道，属于「会拆就秒解、不会拆就卡死」的送分 / 拉分题。

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考点专题精讲03 / 09
STEP · 30-60 秒试错路线

先差后商再圈三数，三关不过转特殊

第一关 · 作差相邻两项逐项作差，最多作两次：差（或二次差）成等差、等比、质数列即收笔。变化平缓的数列 90% 死在这一关。
▼
第二关 · 作商差无规律且各项明显被倍数拉开，逐项作商：商成等差 / 等比 / 连续奇数列即为商数列（如商 1，3，5，7……）。
▼
第三关 · 圈三数圈连续三个绝对值稍大的数，按 和 → 倍 → 方 → 积 试递推，修正项排成列看等差等比。增长越快越先试积、方。
▼
第四关 · 特殊通道三关都不过（约 30-60 秒）：看长相转根式 / 小数拆分、因式分解、阶乘质数修正、机械划分，逐类排除，不在一条路上死算。

节奏控制：每一关只花 10～15 秒，发现「差得很乱、商得不齐、三数凑不出等式」立即换挡——路线比硬算重要。

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考点专题精讲04 / 09
PATTERN · 特殊数列类型

根式、小数、拆因数：三套「拆」法各有标志

1

根式数列 a±√b

每项都含根号，或整数与根式交替出现。

  • 整数部分、根号内部分别成列
  • 根号内：2，6，12，20 = n(n+1)
  • a±√b 拆成「整数列 + 根号列」
例：√2，√6，√12，√20 → 根号内 2，6，12，20，下一项 √30。
2

小数数列

每项都是小数，别拿整体作差。

  • 整数部分单列：1，2，3，5，8…
  • 小数部分单列：01，02，06，24…
  • 两列各成规律后再合写答案
例：1.01，2.02，3.06，5.24 — 整数走斐波那契、小数走阶乘。
3

因式分解 / 基底修正

合数扎堆，或数字紧贴阶乘、平方立方、质数。

  • aₙ = f(n) × g(n)：2=1×2，12=3×4
  • 阶乘修正：1!+1，2!+2，3!+3…
  • n³±1、质数 ± 小修正也常见
例：2，12，30，56 = 1×2，3×4，5×6，7×8，下一项 9×10=90。

通用拆法：拆完必须每一部分都独立成规律，且两部分在同一项上「配对同步」——只一部分好看不算规律。

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考点专题精讲05 / 09
EXAMPLE 1 · 根式数列

例题一：根号遮住了规律——只看根号内一列数

题目：补出括号中的数
√2 √6 √12 √20 ( ? )
A. √26　B. √28　C. √30　D. √36

带根号的题先别算近似值（1.41，2.45……），一律把根号内的数单独抄成一列，规律藏在被开方数里。

逐步解析（按 → 揭示）
1过路线：数值增长平缓，先作差——根号数直接相减没有干净结果；作商也不整齐；圈三数试和倍积方同样不成立，转入根式特殊通道。
2拆：把根号内的被开方数抄成一列：2，6，12，20，根号外都是系数 1（常数列），只需研究根号内。
3对根号内作差：6−2=4，12−6=6，20−12=8，差为 4，6，8（公差 2 的等差），下一个差应为 10；或直接写成 n(n+1)：1×2，2×3，3×4，4×5。
4下一个被开方数 = 20+10 = 5×6 = 30，括号填 √30，选 C。
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考点专题精讲06 / 09
EXAMPLE 2 · 因式分解变式

例题二：全是合数、差值忽大忽小——逐项拆成两数之积

题目：补出括号中的数
2 6 15 28 55 ( ? )
A. 72　B. 78　C. 86　D. 90

作差得 4，9，13，27——忽大忽小不成等差；作商也不整齐。差、商两关都不过，且全是合数，立即拆因数。

逐步解析（按 → 揭示）
1过路线：差 4，9，13，27 杂乱、商不整齐，圈三数试和倍积方也不成立；四个数全是合数，转入因式分解通道。
2逐项拆因数：2 = 1×2，6 = 2×3，15 = 3×5，28 = 4×7，55 = 5×11。
3两列分别看：第一个因数 1，2，3，4，5 是连续自然数；第二个因数 2，3，5，7，11 是连续质数；两列各自成规律、配对同步。
4下一项 = 6 × 13（11 后的质数）= 78，选 B。
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考点专题精讲07 / 09
CHEATSHEET · 综合速查

一张表分流：先差后商圈三数，特殊长相各自拆

第一关 · 作差
逐项差，最多两次；差成等差 / 等比 / 质数列即收。适用：平缓递增。
第二关 · 作商
商成等差 / 等比 / 连续奇数列（1，3，5，7）即收。适用：倍数拉开。
第三关 · 圈三数
和 → 倍 → 方 → 积，避开 0、1、负数；修正项排表看等差等比。
根式 √
根号内抄成一列（2，6，12，20=n(n+1)）；a±√b 拆整数列 + 根号列。
小数 / 多位数
整数部分、小数部分分两列；多位大数字试机械划分（前后半截各自成列）。
拆因数 / 基底修正
合数拆 f(n)×g(n)（自然数×质数）；贴 n!、n²、n³ 的先写基底再算小修正。
总路线
作差 → 作商 → 圈三数递推 → 根式 / 小数 / 拆因数 / 阶乘质数修正　｜　每关 10～15 秒，不死磕

验收到位：无论哪一关找到公式，都必须逐项全验证、再算括号；拆分题要求两部分规律同时成立。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 避坑清单

综合题三大坑：死磕、不拆、验不全

特殊数列题的失分，多半不是不会，而是在主流规律上死磕、看不出「拆」的信号、只让一部分规律成立。

避坑 1 · 一条路走到黑
差不成列还反复作差、商不整齐还硬凑倍数；严格执行先差后商再圈三数，每关试 2～3 项不过立刻换挡。
避坑 2 · 根式 / 小数只看整体
√2、√6 只比数值大小、小数整体作差都必错；先做「拆成两列」的动作，根号内外、整数小数分开找规律。
避坑 3 · 拆分只对上一部分
拆因数后只看一个因数成列、另一列乱，属于巧合；两部分必须各自成规律且逐项配对同步，再全验证算括号。

检查动作：30-60 秒还在第一关纠缠时强制翻牌看长相——有根号、有小数点、合数扎堆、贴着阶乘平方，都是「该拆了」的信号。

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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

递推综合与其他数列：路线先行，特殊长相特殊拆

① 试错路线先作差（最多两次）→ 再作商 → 再圈三数试和倍积方；主流三关都不过，转根式 / 小数 / 因式分解 / 阶乘质数修正，30-60 秒内完成分流。
② 根式与小数根式把整数部分与根号内部分别排成两列各自找规律，a±√b 拆开看；小数把整数部分、小数部分分两列读。
③ 因式与修正合数偏多试拆因数（1×2，3×4……）；阶乘、平方立方、质数附近的数，先写基底 n!、n²、n³，再算小修正并验证成列。
避坑 1 · 死磕一种规律：一条路试 2～3 项不成立立即换，先差后商再圈三数，超时果断转特殊数列。
避坑 2 · 根式只比大小：√2、√6、√12 不能只看数值递增，必须列根号内数列；两列规律要同时成立。
避坑 3 · 只看表面数值：2，12，30 当成普通递增就漏了拆因数；特殊题先做「拆」的动作，再谈规律。