公考 AI 讲解数字推理
考点专题精讲01 / 09
推
数字推理 · 递推数列

递推数列
前项算后项，圈三数破题

和递推、差递推、积递推、方递推，倍数递推 aₙ = k·aₙ₋₁ ± m
看趋势定方向，圈出最大三个数试和、方、积

看趋势圈三数全验证
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 识别信号

前项能「算」出后项：变化越快，越往递推想

前三项之间有和、差、积、商、倍、方关系 变化速度比多级数列明显更快 爆炸式增长：积递推 / 平方递推 相邻项稳定在同一倍数附近：倍数递推 平缓累加：和递推 ± 修正
递推四式
aₙ₊₂ = aₙ + aₙ₊₁ ± m　｜　aₙ₊₁ = k·aₙ ± m　｜　aₙ₊₂ = aₙ × aₙ₊₁ ± m　｜　aₙ₊₁ = aₙ² ± m

递推题的灵魂是修正项 m：完美相等的递推很少，真题几乎都带一个小修正。把每一项的修正值算出来排成一列——修正本身成等差、等比，规律就坐实了。

与多级数列的分界：每项只比前一项大一点 → 回多级作差；前几项就能互相算出后项 → 走递推。

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考点专题精讲03 / 09
STEP · 操作步骤

三步法：看趋势 → 圈三数 → 全验证

第一步 · 看趋势递增：涨得飞快试积、平方；稳定几倍试倍数；平缓累加试和。递减反过来试差、试商。
▼
第二步 · 圈三数圈出连续三个绝对值稍大的数试关系，避开 0、1、负数；按 和 → 倍 → 方 → 积 的顺序，找一个能写出来的等式。
▼
第三步 · 算修正等式不完美时，把差值 m 逐项算出排成列：+1，−2，+4，−8……修正项成等差、等比或常数列，即为合法规律。
▼
第四步 · 全验证公式（含修正）必须对每一项都成立，再算括号；试 2～3 种仍不成立，立即重判趋势，不死算。

圈三数是最高频的考场动作——三个大数之间的关系最干净，算出的修正项也最容易看出规律。

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考点专题精讲04 / 09
PATTERN · 规律类型

四类递推：和、倍、积、方，各有各的长相

1

和 / 差递推

增长平缓，像一级一级往上累加。

  • aₙ₊₂ = aₙ + aₙ₊₁ ± 修正
  • 四项和、隔项和、（两项和）×2
  • 递减数列改试差递推
例：1，2，3，5，8，13 — 斐波那契型，逐项和。
2

倍数递推

相邻项始终围绕同一个倍数浮动。

  • aₙ₊₁ = k·aₙ ± m，k 多为 2、3
  • 修正项成等差：+1，+3，+5，+7
  • 修正项成等比：2，4，8，16
例：2，5，11，23，47 → 2a+1，下一项 95。
3

积 / 方递推

数字爆炸式拉大，是最强的信号。

  • aₙ₊₂ = aₙ × aₙ₊₁ ± 修正
  • aₙ₊₁ = aₙ² ± m
  • (aₙ + aₙ₊₁)²、aₙ² − aₙ₊₁
例：2，3，6，18 → 前两项之积，下一项 108。

分数递推别放过：①+②=1/③、(①+②)×③=1、①÷②=③；出现 0.5 信号优先试 (①±②)/2=③。

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考点专题精讲05 / 09
EXAMPLE 1 · 倍数递推

例题一：商始终在 2 倍附近——圈三数试 2a±m

题目：补出括号中的数
2 5 11 23 47 ( ? )
A. 89　B. 91　C. 95　D. 99

先估相邻两项之商：都在 2 倍出头且越来越贴近 2——这是倍数递推 aₙ₊₁ = k·aₙ ± m 的典型长相。

逐步解析（按 → 揭示）
1看趋势：5÷2=2.5，11÷5=2.2，23÷11≈2.09，47÷23≈2.04，稳定收敛到 2 倍附近，优先试 aₙ₊₁ = 2·aₙ ± m。
2圈三数：圈 5，11，23（避开首项过小的干扰）。2×5=10，10 到 11 差 +1；2×11=22，22 到 23 也差 +1，得 aₙ₊₁ = 2·aₙ + 1。
3全验证：2×2+1=5 ✓、2×23+1=47 ✓，从首项到末项逐项成立；修正项恒为 +1（常数列），规律坐实。
4算括号：( ) = 2×47 + 1 = 95，选 C。
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考点专题精讲06 / 09
EXAMPLE 2 · 变式：带修正的倍数递推

例题二：2a 差一截——把修正项排成列，它自己成等比

题目：补出括号中的数
1 3 8 20 48 ( ? )
A. 96　B. 104　C. 108　D. 112

商在 2.4～3 之间，纯 2 倍、纯 3 倍都对不齐——别放弃，把「后项 − 2 倍前项」的差逐项列出来。

逐步解析（按 → 揭示）
1看趋势：3、2.67、2.5、2.4，商稳定在 2 倍多，试 aₙ₊₁ = 2·aₙ + m；但 1×2=2≠3，说明修正项 m 不是常数。
2算修正、排成列：3−2×1=1，8−2×3=2，20−2×8=4，48−2×20=8 → 修正项 1，2，4，8，公比为 2 的等比数列。
3全验证：1×2+1=3 ✓、3×2+2=8 ✓、8×2+4=20 ✓、20×2+8=48 ✓，逐项成立；下一项的修正应为 8×2 = 16。
4算括号：( ) = 2×48 + 16 = 96 + 16 = 112，选 D。
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考点专题精讲07 / 09
CHEATSHEET · 试错速查

30 秒试错路线：趋势选词、圈三数、修正项排表

平缓累加 · 和递推
aₙ₊₂ = aₙ + aₙ₊₁（±修正）；再试四项和、隔项和、(①+②)×2=③。
稳定几倍 · 倍数递推
商始终贴近 k（多为 2、3）→ aₙ₊₁ = k·aₙ ± m，先把 m 逐项列出来看等差 / 等比。
爆炸增长 · 积 / 方
aₙ₊₂ = aₙ×aₙ₊₁（±修正）或 aₙ₊₁ = aₙ² ± m；再试 (①+②)²、①²−②。
圈三数要避坑
选连续三个绝对值稍大的数，避开 0、1、负数；三项看不出就换相邻的另一组三数。
修正项排表
每步差值 m 竖着写成一列：成等差 / 等比 / 常数即合法；杂乱无章说明主公式找错。
换路原则
一种关系试 2～3 个三连数不成立立刻换：和 → 倍 → 方 → 积；分数试乘除，递减反向试差商。
考场节奏
看趋势（3 秒）　→　圈三数找等式（15 秒）　→　修正项排表（15 秒）　→　逐项全验证（10 秒）

口诀：差一点别硬凑，修正排成一列看；公式只信「全验证」，两项成立不算完。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 避坑清单

递推数列三大坑：圈错数、不验证、无视修正项

递推题的错误几乎都发生在试探环节：拿 0、1、负数去凑、公式只验两三格、差一个小尾巴就放弃。

避坑 1 · 拿 0、1、负数圈三数
0×任何数=0、1×任何数不变，凑出的「规律」全是假象；一定选绝对值稍大、互不相同的三个数。
避坑 2 · 公式只验相邻三项
三连数对上只是「候选公式」，必须从首项到括号前逐项回验；中间有一项不成立，答案再像也不能选。
避坑 3 · 差一点就换路 / 无视修正项
后项与 k·aₙ 差一个小值时别急着重来，把差值 m 逐项排成列——修正项成等差、等比是真题最高频的考法。

检查动作：写出公式后默念三句——每项都成立吗？修正项成列吗？括号用的是下一个修正值吗？

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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

递推数列：趋势 → 圈三数 → 全验证

① 看趋势平缓累加试和递推，稳定几倍试 aₙ=k·aₙ₋₁±m，涨得飞快试积递推 / 平方递推；递减改试差、商。
② 圈三数圈连续三个绝对值稍大的数，避开 0、1、负数；按和 → 倍 → 方 → 积的顺序试探。
③ 全验证公式必须逐项成立；修正项逐项算出排成一列，修正本身成等差、等比才算规律。
避坑 1 · 拿 0、1 试积方：0 乘任何数为 0、1 乘任何数不变，圈三数要避开，否则什么都"成立"。
避坑 2 · 只验一项：公式对相邻三项成立不够，必须从首项到括号前一项逐项回验。
避坑 3 · 忽略修正项：差一个小常数时别硬凑，把修正值 +1，−2，+4……排成列，它往往自成等差或等比。