公考 AI 讲解数字推理
考点专题精讲01 / 09
基
数字推理 · 六大原型

基础数列
等差 · 等比 · 质合 · 周期 · 递推

所有数列题都拆得回这六张原型
通项背熟、特征看准，多级 / 幂次都是它们的变形

等差等比质数合数递推和差积商
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考点专题精讲02 / 09
SIGNAL · 六大原型识别信号

先认「长相」：基础数列不用算，一眼对号入座

等差：相邻差恒定，直线增减 等比：相邻倍比恒定，越涨越快 质数：2，3，5，7，11，13… 合数：4，6，8，9，10，12… 周期：数字或正负号循环 对称：如 1，2，3，2，1 递推和：前两项相加 = 第三项 递推差 / 积 / 商：圈三数即可验证
判断顺序（30 秒定性）
先看 差 / 商是否恒定 → 再看 是否质数合数串 → 最后圈三数试 和 / 差 / 积 / 商

基础数列是「一眼题」，也常藏在作差、作商后的差列、商列里——原型不熟，变形题就慢。

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考点专题精讲03 / 09
FORMULA · 通项与递推式

六大原型的「生成公式」：套公式就能算下一项

等差（公差 d）aₙ = a₁ + (n−1)d，相邻两项之差恒为 d（d 可正可负）
等比（公比 q）aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹，相邻两项之商恒为 q（q 可为分数、小数）
质数 / 合数无通项公式，靠背：质数 2，3，5，7，11，13，17，19…；合数 4，6，8，9，10…
周期 / 对称周期：aₙ₊ₖ = aₙ（循环节长度 k，含正负号循环）；对称：以中项为轴左右镜像
简单递推和 aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂；差 aₙ = aₙ₋₂ − aₙ₋₁；积 aₙ = aₙ₋₁ × aₙ₋₂；商 aₙ = aₙ₋₂ ÷ aₙ₋₁

递推式一律「圈连续三数」验证：前两项经过同一种运算恰好得到第三项，且全列贯穿。

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考点专题精讲04 / 09
PATTERN · 规律卡片

最常考的三组原型：等差等比、质数合数、周期递推

1

等差 / 等比

公差、公比恒定是核心；q 可以是分数或小数。

  • 等差：4，7，10，13，16（d = 3）
  • 等比缩半：16，8，4，2，1（q = 1/2）
  • 等比小数：4，6，9，13.5（q = 1.5）
边界：差不是常数而是等差地变 → 已属多级数列。
2

质数 / 合数

纯靠数感识别，最常出现在差列与商列中。

  • 质数：2，3，5，7，11，13，17，19（2 唯一偶质数）
  • 合数：4，6，8，9，10，12，14，15，16
  • 1 既非质数也非合数
陷阱：91 = 7×13、119 = 7×17 都是合数。
3

周期 / 简单递推

周期看循环节；递推圈三数试和、差、积、商。

  • 周期：1，2，3，1，2，3；正负：1，−1，1，−1
  • 递推和：1，1，2，3，5，8（斐波那契）
  • 递推积：2，3，6，18，108，1944
验证：运算规则必须从首项贯穿到尾项。
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考点专题精讲05 / 09
PRACTICE · 例题一

差不恒定？圈三数，认出递推和数列

题目
7，14，21，35，56，（　）
A. 72　B. 84　C. 91　D. 98

7→14 像翻倍，14→21 又不是倍数；作差得 7，7，14，21，也不是等差——转「圈三数」。

分步揭示（按 → 翻页）
1看趋势：整体递增，作差 7，7，14，21 不恒定，排除等差；相邻无固定倍数，排除等比。
2圈三数：7 + 14 = 21，14 + 21 = 35，21 + 35 = 56，连续三组都是「前两项之和 = 第三项」。
3验规律：递推式 aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ 从首项起贯穿全列，是递推和数列。
4得答案：35 + 56 = 91，选 C。
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考点专题精讲06 / 09
PRACTICE · 例题二（易错变式）

递减中突然反弹：递推差，方向一列到底

题目
15，8，7，1，6，（　）
A. −5　B. −1　C. 3　D. 7

15→8→7→1 一路减小，1→6 却反弹——普通作差必乱，反弹恰是递推差的典型信号。

分步揭示（按 → 翻页）
1看趋势：数列有降有升，作差 −7，−1，−6，5 无规律，排除等差与多级差。
2圈三数试差：15 − 8 = 7，8 − 7 = 1，7 − 1 = 6，规则是「前项 − 后项 = 第三项」。
3定方向：递推式 aₙ = aₙ₋₂ − aₙ₋₁，全程「前 − 后」，已知项全部回验通过。
4得答案：1 − 6 = −5，选 A。反写成 6−1 = 5 就是方向错误的典型丢分。
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考点专题精讲07 / 09
CHEATSHEET · 原型速查表

六大基础数列「长这样、这样验」：考场上直接对号

等差数列
例：4，7，10，13，16（d = 3）；d 可负：18，14，10，6
验：相邻差恒为常数
等比数列
q 分数：16，8，4，2，1；q 小数：4，6，9，13.5（q = 1.5）
验：相邻商恒定，含 0 不可作商
质数数列
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47
2 是唯一的偶质数
合数数列
20 以内：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20
9、15 是奇合数，别漏
周期 / 对称
数字循环：1，2，3，1，2，3；正负循环：1，−1，1，−1；对称：1，2，3，2，1
递推和
1，1，2，3，5，8；7，14，21，35，56，91
验：aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
递推差
15，8，7，1，6，−5
验：aₙ = aₙ₋₂ − aₙ₋₁，数列常现「降中反弹」
递推积
2，3，6，18，108，1944
验：aₙ = aₙ₋₁ × aₙ₋₂，越涨越猛
递推商
108，12，9，4/3（108÷12 = 9，12÷9 = 4/3）
商写分数，不写近似小数

递推四兄弟一律圈连续三数验证；规律必须从首项贯穿到尾项，只命中前三项不是规律。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 三个高频坑

基础数列最容易翻车的三个地方

1

公差在变还硬套等差

差列为 2，3，4，5 本身在变，不是公差恒定。

  • 相邻差必须每个都相等
  • 差成等差 / 等比 → 归多级数列
正解：差不恒定就作二级差或转方法。
2

合数误判成质数

91、119、117 看着「又大又像质数」，全是合数。

  • 91 = 7×13、119 = 7×17、117 = 9×13
  • 9、15 是奇合数；1 非质非合
正解：大数先试能否被 7、11、13 整除。
3

q 是分数小数就认不出等比

16，8，4 看出减半，到 4，6，9 就卡住。

  • 4→6→9→13.5，q = 1.5 恒定
  • 商写分数：4/3 而不写 0.33
正解：作商不整除时，照样算商看规律。
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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

基础数列：六张原型打底，一切变形都拆得回

① 差商恒定相邻差为常数 → 等差（aₙ = a₁+(n−1)d）；相邻商为常数 → 等比（aₙ = a₁·qⁿ⁻¹），q 可是分数小数。
② 质合周期质数 2,3,5,7,11,13,17,19 背熟，2 是唯一偶质数；合数含 9、15 这类奇合数；周期看循环节、对称看镜像。
③ 递推圈三数圈连续三数依次试和、差、积、商，规则全列贯穿才成立；和递增温和、积越涨越猛、差常现反弹。
避坑 1 · 边界：公差本身在变就不是等差，差列再规律也是多级数列，按多级作差处理。
避坑 2 · 陷阱数：91=7×13、119=7×17、117=9×13 是合数，1 非质非合，质数判定前先分解。
避坑 3 · 局部律：只前三项满足的递推不算规律，必须逐项回验到最后一个已知项。