公考 AI 讲解数字推理
考点专题精讲01 / 09
商
数字推理 · 两把快刀

作商与多级数列
差到三级 · 商看商列 · 差商转换

平缓就作差，递增方向一列到底；越涨越快就作商，商列本身藏规律
两种方法覆盖数字推理一半以上的题量

多级作差作商数列差商结合
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考点专题精讲02 / 09
SIGNAL · 什么时候作差，什么时候作商

看走势选工具：平缓作差、陡增作商，方向一列到底

增减平缓：相邻差拉不开 → 作差 差列还在变：继续二级、三级作差 倍数明显：越涨越快 → 作商 可整除 / 可约分：商干净，优先作商 作商无规律：立即转多级作差 差列倍数明显：对差再作商
操作方向（全程统一）
递增：后项 − 前项、后项 ÷ 前项　｜　递减：全部反过来；商写分数不写近似小数

含 0 的数列不能作商（除数为 0）；商出现循环小数时，写成分数往往立刻看出分子、分母各自的规律。

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考点专题精讲03 / 09
METHOD · 差商选择顺序

五级试法：从最显眼的特征入手，30 秒不出就换路

第 1 级 · 作商相邻倍数明显、各项能整除：后项 ÷ 前项，看商列本身的规律
第 2 级 · 一级作差增减平缓、无倍数：后项 − 前项，看差列是否等差、等比、质数串
第 3 级 · 二级 / 三级差一级差还在变，就对差列再作差；二级差仍变再作三级，最多作三次
第 4 级 · 差商互换作商无规律 → 转多级作差；差列本身倍数明显 → 对差列作商
第 5 级 · 换递推 / 幂次差、商都无果：圈三数试递推和积，或检查是否贴着 64、125 等幂次数

顺序不是死规定：特征越明显越先试。每次试法只花 30 秒，差 / 商两列都要写全、对齐到每一个相邻项。

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考点专题精讲04 / 09
PATTERN · 多级差的三级跳

一级差看基础数列、二级差看恒定、三级差贴立方

1

一级差

差列本身就是一张基础数列。

  • −2，−1，1，5，13，29
  • 差列：1，2，4，8，16（等比 q=2）
  • 下个差 32 → 括号填 61
常见：差列等差、等比，或就是质数串 2,3,5,7…
2

二级差

一级差再作差，得到常数即破解。

  • 2，6，12，20，30，（42）
  • 一级差：4，6，8，10，12
  • 二级差：2，2，2，2 恒定
反推：下个一级差 12+2=14，30+14=42。
3

三级差

再作一次差为常数，常贴着立方数列。

  • 1，8，27，64，125，（216）
  • 一级差：7，19，37，61，91
  • 二级差：12，18，24，30；三级差恒为 6
本质：n³ 的三级差恒为 6，可直接还原立方。
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考点专题精讲05 / 09
PRACTICE · 例题一（二级差）

差列 4，6，8 还在变？再作一级差就恒定

题目
2，6，12，20，30，（　）
A. 38　B. 40　C. 42　D. 44

走势平缓、无倍数——先作差；差 4，6，8，10 本身是等差，别停在半路。

分步揭示（按 → 翻页）
1看趋势：2→6→12 缓慢递增，相邻无固定倍数，不试等比，直接作差。
2一级差：6−2=4，12−6=6，20−12=8，30−20=10，差列 4，6，8，10 不恒定。
3二级差：对差列再作差：2，2，2 恒定——二级等差数列，下个一级差为 12。
4反推答案：30 + 12 = 42，选 C。（本质即 n(n+1)：2，6，12，20，30，42）
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考点专题精讲06 / 09
PRACTICE · 例题二（作商 + 起步为 1）

开头两项相等不是陷阱：商列从 1 起跳，照样走奇数

题目
2，2，6，30，210，（　）
A. 960　B. 1470　C. 1680　D. 1890

6→30→210 越涨越快、全可整除，作商；首商 = 1 是合法起点，别因此换去作差。

分步揭示（按 → 翻页）
1看趋势：2，2 持平后陡增，后段倍数感极强，且每项都能被前项整除 → 作商。
2算商列：2÷2 = 1，6÷2 = 3，30÷6 = 5，210÷30 = 7，商列为 1，3，5，7。
3验商列：1，3，5，7 是连续奇数列（公差 2 的等差），下个商为 9。
4得答案：210 × 9 = 1890，选 D。若开作差会得 0，4，24，180 迅速卡死。
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考点专题精讲07 / 09
CHEATSHEET · 商列变体速查

作商得手后看什么：商列自身的六种常见长相

商为自然数
2，6，24，120，720
商列 3，4，5，6（连续自然数）
商为奇数列
2，2，6，30，210，1890
商列 1，3，5，7，9
商为等比
商列 1，2，4，8（q = 2）
原数列被乘得越来越快，按等比商外推下一项
商为等差（分数）
商列 1/2，1，3/2，2，下一个商 5/2
先统一写成分数再看公差
分子分母分别等差
商列 2/1，3/2，4/3，5/4
分子 2,3,4,5、分母 1,2,3,4 各自递增
商为递推和
商列 3，4，7，11，18
从第 3 个商起，前两商相加得后商
商可为小数
相邻比 = 9.6 也照常成立
但写答案时优先保留分数形式
带根号先收系数
2√3 = √12，3√2 = √18
系数全部移入根号，再对根号内数字作商
差列再作商
差列本身倍数明显时，对差列作商
作商无果立即转多级作差，不死磕

共同前提：方向统一、逐项对齐；商写分数不写近似小数；含 0 不可作商。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 三个高频坑

差商两刀最容易割到手的三个地方

1

商写成近似小数

4/3 写成 0.33，再也看不出分子分母规律。

  • 商一律保留分数或整数
  • 除不尽先约分，再排分子分母
正解：分数形态本身就是规律载体。
2

含 0 强行作商

数列出现 0 还去后项除以前项，得到非法结果。

  • 除数为 0 无意义，立即转作差
  • 作商无果也别反复重算
正解：有 0 就走多级作差路线。
3

两次作差无果不换路

二级差仍是乱序，还在埋头作第三次、第四次。

  • 作差最多三次，无果立即转商 / 递推
  • 差列倍数明显，改为对差列作商
正解：每级 30 秒判生死，规律不靠硬磨。
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考点专题精讲09 / 09
SUMMARY · 一页速记

作商与多级：平缓作差、陡增作商，差商互通及时换路

① 多级作差方向一列到底；一级差看基础数列，二级差恒定即破解，三级差常对应立方（n³ 三级差恒为 6）；最多作三次。
② 作商数列倍数明显、能整除就后÷前；商列可以是自然数、等比、等差分数、分子分母分列、递推和、小数；根号系数先移入根号。
③ 差商结合作商无规律立即转多级作差；差列本身倍数明显就对差列再作商；再无果转递推、幂次，不在一条路上硬磨。
避坑 1 · 方向乱：一列之内后−前、后÷前贯穿到底，递减则全程反向，中途换方向差列商列全废。
避坑 2 · 近似值：商写分数不写近似小数，4/3、3/2 这类形态本身就在提示分子分母分列规律。
避坑 3 · 含 0：含 0 数列不能作商，直接作差；两次作差无果立刻换法，单题控制在 40～60 秒。