公考 AI 讲解判断 · 图形推理
考点专题精讲01 / 09
截
立体图形推理 · 正方体截面图

截面图问题
一刀到底不拐弯 · 穿几面得几边

三角形、四边形、五边形、六边形都能截,直角三角形与正五边形截不出
截面边数=切面穿过的面数=穿过的棱数,正方体上限六边形

边数 = 穿面数三角必锐角最多六边形
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考点专题精讲02 / 09
WHEN · 怎么认题型

看到「用一个平面去截」,立刻改数切面穿过了几个面

题干含「平面截切 / 切一刀,截面(断面)是?」 问「不可能 / 不能截出哪个图形」选非题 选项是若干封闭平面图形:三角、四边、五边、六边形 给出正方体、圆柱、圆锥、球等基本几何体 组合方块体被斜面一刀切,截面呈拼接形
截面第一公式
截面边数 = 切面穿过的面数 = 穿过的棱数 | 一刀到底,平面不拐弯

截面(断面)就是切平面与立体表面的交线围成的图形。切面每穿过一个面就产生一条交线,所以截面的边数不用想象,数穿面即可。正方体只有 6 个面,故截面最多是六边形;平面是平直的,截面必然是凸多边形。

平面截切的「平面」不能折、不能弯;凡是需要曲面或拐弯才能得到的形状,一律截不出。

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考点专题精讲03 / 09
HOW · 穿面计数梯

正方体截面四级梯:穿过 3~6 个面,边数从三角到六边

穿 3 面在一个顶角附近下刀,切面与相邻的三个面相交 → 三角形。正方体截出的三角形必为锐角三角形(可截出等边、等腰),直角、钝角三角形一律截不出。
穿 4 面切面与四个面相交 → 四边形:平行于面切得正方形,竖直平切得矩形,斜切可出平行四边形、梯形(切过上、下两底与两侧面)。
穿 5 面切面斜扫过五个面 → 五边形。五边形必有相邻两边同在原正方体的一个面上,故正五边形截不出(五个内角无法同时 108°)。
穿 6 面切面过正方体中心附近、与六个面全部相交 → 六边形(可截出正六边形),这是正方体截面边数的上限,七边形及以上绝无可能。

选非题口诀:直角钝角三角、正五边形、七边形——三个「截不出」先划掉,剩下的再数穿面验证。

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考点专题精讲04 / 09
CATALOG · 常见截面清单

三类几何体截面清单:正方体、回转体、组合方块体

1

正方体

可截:三角形(必锐角)、正方形、矩形、平行四边形、梯形、五边形、六边形(可正六边)。

  • 切顶角 → 锐角三角形
  • 平行面切 → 正方形
  • 过中心扫六面 → 六边形
截不出:直角/钝角三角形、正五边形、七边及以上。
2

圆柱 · 圆锥 · 球

圆柱:横切得圆、竖切得矩形、斜切得椭圆(特殊角度可出抛物线形)。

  • 圆锥:平行底切得圆,过顶点切得等腰三角形
  • 圆锥斜切 → 椭圆 / 抛物线 / 双曲线一支
  • 球:任意方向切,截面恒为圆
速记:圆柱三种切法对应圆、矩、椭圆。
3

组合方块体

斜面完整穿透多块组合体时,截面是各部分截面拼成的整体:边数仍按切面与外表面的交线数。

  • 沿网格面斜切,逐格画交线
  • 内部贴合面不产生截面边
验证:截面各段必须首尾相连、共面闭合。

判断顺序:先看几何体类型调清单 → 再数切面穿面数 → 最后用「三个截不出」排除。

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考点专题精讲05 / 09
PRACTICE 01 · 正方体选非

例题一:一个平面截正方体,下列哪种形状不可能得到?

题目 · 一刀切透,平面不拐弯
切面
A 等边三角形 B 直角三角形 C 梯形 D 正六边形

四个选项都是单一平面一次截切的结果,问哪一个「截不出」。

穿面计数(按 → 揭示)
1A:在顶角附近下刀、切面与相邻 3 个面相交,且三面两两垂直——截出的三角形必为锐角三角形,等边可截出。
2C:切面过上、下底与两个侧面(穿 4 面),可截出梯形;D:切面过中心与六面全交,可得正六边形。
3B 要得直角,需截面上两条交线垂直;但正方体相邻三面两两垂直,切出的三角形最大角始终小于 90°,直角、钝角都无法得到。
4故选 B。「三角必锐角」是正方体截面的硬结论,可直接用于排除。
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考点专题精讲06 / 09
PRACTICE 02 · 圆柱截切

例题二:按图中三个方向各切圆柱一刀,截面依次是什么形状?

题目 · 横切 · 竖切 · 斜切
① 平行底横切 ② 沿轴竖切 ③ 斜着切
A. 圆、矩形、椭圆
B. 椭圆、矩形、圆
C. 圆、等腰三角形、椭圆
D. 矩形、圆、椭圆

圆柱侧面是曲面,与平面相交得到的截交线随角度变化:横切闭合为圆,竖切沿母线走直线。

三种切法(按 → 揭示)
1① 切面平行于底面,与圆柱交成等半径闭合曲线 → 截面是圆。
2② 切面沿轴线竖直截到底,与侧面交于两条平行母线、与两底交于两线段 → 矩形(过轴时)。
3③ 切面倾斜且不平行于母线,截交线为拉长的闭合曲线 → 椭圆。顺序=圆、矩形、椭圆。
4对照选项选 A;C 错在圆柱竖切永远切不出三角形(圆锥过顶点才得等腰三角形),B、D 顺序错位。
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考点专题精讲07 / 09
CHEATSHEET · 口诀速查

六张速查卡:截面边数、正方体清单与回转体结论

边数公式
口诀:穿几面得几边,穿棱数=面数=边数
第一操作:沿切面逐个数相交的面
三角截面
口诀:切顶角过三面,三角必锐角
第一操作:见直角/钝角三角直接排
四边截面
口诀:平行切得正方形,斜切四边可梯形
第一操作:矩形/平行四边形/梯形都属穿 4 面
五边六边
口诀:穿 5 面得五边,正五边截不出;穿 6 面六边封上限
第一操作:过中心可截正六边形
圆柱
口诀:横圆、竖矩、斜椭圆
第一操作:看切面与轴线的夹角
圆锥 · 球
口诀:圆锥平行底切圆、过顶切等腰三角;球怎么切都是圆
第一操作:过不过顶点先判明

两个「永远」:正方体永远切不出直角/钝角三角形与正五边形;球的截面永远是圆——选非题优先用它们砍选项。

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考点专题精讲08 / 09
PITFALL · 考场避坑

截面题三条纪律:一刀到底、先数穿面、选非先找反例

纪律一 · 一刀到底截面永远是一张平面直切到底:刀不拐弯、不旋转、不分两次切;凡是靠「折一下」「转个角」才能得到的形状,直接排除。
纪律二 · 先数穿面动笔先沿入刀口数刀面穿过几个外表面——穿几面截面就是几边形,边数不合的选项不看细节先砍。
纪律三 · 选非找反例问「不可能截出」时,先默念三个截不出(直角/钝角三角形、正五边形、七边及以上),命中即选;回转体先看过不过轴、过不过顶点。
坑 1 · 切面拐弯:把阶梯状、折线状轮廓当截面,违反一刀到底;组合方块体的阶梯截面,是斜面在同一直切面上逐格穿过的结果,不是刀转弯。
坑 2 · 内部贴合面算边:方块与方块贴在一起的内部接缝不是外表面,刀穿过它不产生截面边;数穿面只数几何体的外表面。
坑 3 · 凭「看着像」选:梯形、平行四边形都能截出,但必须能指出入刀口在哪些面、各边落在哪;指不出穿面路径的选项,再像也不选。
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考点专题精讲09 / 09
RECAP · 一页速记

截面图一页记:一条公式、一份清单、三个截不出

一条公式截面边数 = 刀面穿过的外表面数 = 穿过的棱数;平面一刀到底,不拐弯、不分次,正方体最多穿 6 面得六边形。
正方体清单穿 3 面:锐角三角形(可等边等腰);穿 4 面:正方形、矩形、平行四边形、梯形;穿 5 面:五边形;穿 6 面:六边形(过中心可正六边形)。
回转体结论圆柱:横切圆、竖切矩形(过轴)、斜切椭圆;圆锥:平行底切圆、过顶点切等腰三角、斜切椭圆/抛物形;球:任何方向截都是圆。
坑 1 · 直角/钝角三角形:平面截正方体得到的三角形只能是锐角三角形,凡是带直角标记、钝角的三角形选项,一律截不出。
坑 2 · 正五边形与七边形:五边形能截但正五边形截不出;截面边数封顶六边形,七边形及以上直接排除。
坑 3 · 组合体内部缝当边:多方块拼合体的内部贴合面不产生截面边,截面只沿外轮廓和被切到的外表面成形,数边只数外边。